Problema di massimo
È dato un settore AOB di un cerchio di raggio r; l'angolo al centro AOB è acuto e ha ampiezza α radianti. Inscrivere in esso un rettangolo PQMN con la base PQ sul raggio OA e M sull'arco AB avente area massima.
Ecco come ho operato:
Pongo $Q\hat{O}M=x$
Posso dire per il teorema dei seni che:
$r/(sen( M\hat{P}O)) = (PM)/(senx)$
Quindi PM è lungo: $rsenx$
Poi posso calcolare l'angolo ONQ che è $pi/2-\alpha$ perché sarebbe $pi -pi/2-\alpha$
Poi considerando il triangolo MNO posso dire che:
$(MN)/(sen(M\hat{O}N)) = (MO)/(sen(M\hat{N}O))$
Quindi che $MN=r(sen(\alpha-x))/(senx)$
A questo punto l'area in funzione di x dovrebbe essere:
$A(x)=r^2sen(\alpha-x)$
e ciò che massimizza l'area è anche ciò che massimizza $sen(\alpha-x)$ del quale studio i massimi:
$A'(x)=-cos(\alpha-x)$
Ma viene: $\alpha-x=0$ e quindi $\alpha=x$ il che mi lascia un po' perplesso e capisco di aver sbagliato qualcosa...ma non capisco dove...
Qualche anima pia che mi da una mano? Grazie in anticipo
Ecco come ho operato:
Pongo $Q\hat{O}M=x$
Posso dire per il teorema dei seni che:
$r/(sen( M\hat{P}O)) = (PM)/(senx)$
Quindi PM è lungo: $rsenx$
Poi posso calcolare l'angolo ONQ che è $pi/2-\alpha$ perché sarebbe $pi -pi/2-\alpha$
Poi considerando il triangolo MNO posso dire che:
$(MN)/(sen(M\hat{O}N)) = (MO)/(sen(M\hat{N}O))$
Quindi che $MN=r(sen(\alpha-x))/(senx)$
A questo punto l'area in funzione di x dovrebbe essere:
$A(x)=r^2sen(\alpha-x)$
e ciò che massimizza l'area è anche ciò che massimizza $sen(\alpha-x)$ del quale studio i massimi:
$A'(x)=-cos(\alpha-x)$
Ma viene: $\alpha-x=0$ e quindi $\alpha=x$ il che mi lascia un po' perplesso e capisco di aver sbagliato qualcosa...ma non capisco dove...
Qualche anima pia che mi da una mano? Grazie in anticipo
Risposte
Fregior ,
ho cancellato il precedente messaggio perchè era sbagliato . Ora dovrebbe andar bene .
Per ipotesi $\alpha$ è acuto . I punti P e Q giacciono sul raggio $OA$ . Il punto M giace sull'arco $AB$ . Perciò il quarto vertice , che chiamo N , giace sul raggio $OB$ . Ordino i vertici in senso orario , a partire da quello più vicino ad O su $OA$ , che chiamo Q . Quindi , in ordine , i vertici sono QPMN . D’accordo?
E' evidente che i lati opposti del rettangolo devono essere uguali , cioè si ha : $QP = NM$ ; $PM = QN$ .
Allora, nel triangolo rettangolo $OPM$ : $PM = r*senx $ ; $PO = r*cosx$ .
Inoltre : $ (QN)/(QO) = (PM)/(QO) = tg\alpha $ , da cui $QO = (r*senx)/(tg\alpha) $
Perciò si ha : $PQ = PO - QO = rcosx-(r*senx*cos\alpha)/(sen\alpha) = r/(sen\alpha)*sen(\alpha-x) $
Per cui , l'area del rettangolo è : $ A = PM*PQ = ...... = r^2/(sen\alpha)*senx*sen(\alpha-x) $ . Ci sei fin qui ?
Calcola $(dA)/(dx)$ e uguaglia a zero . Ottieni alla fine : $ r^2/(sen\alpha)* sen(\alpha-2x) = 0 $
Perciò deve essere : $\alpha – 2x = 0$ ,da cui : $ x = \alpha/2 $
Ma io non mi fido mai di me , quindi ripeti tutto il procedimento e controlla se va bene.
ho cancellato il precedente messaggio perchè era sbagliato . Ora dovrebbe andar bene .
Per ipotesi $\alpha$ è acuto . I punti P e Q giacciono sul raggio $OA$ . Il punto M giace sull'arco $AB$ . Perciò il quarto vertice , che chiamo N , giace sul raggio $OB$ . Ordino i vertici in senso orario , a partire da quello più vicino ad O su $OA$ , che chiamo Q . Quindi , in ordine , i vertici sono QPMN . D’accordo?
E' evidente che i lati opposti del rettangolo devono essere uguali , cioè si ha : $QP = NM$ ; $PM = QN$ .
Allora, nel triangolo rettangolo $OPM$ : $PM = r*senx $ ; $PO = r*cosx$ .
Inoltre : $ (QN)/(QO) = (PM)/(QO) = tg\alpha $ , da cui $QO = (r*senx)/(tg\alpha) $
Perciò si ha : $PQ = PO - QO = rcosx-(r*senx*cos\alpha)/(sen\alpha) = r/(sen\alpha)*sen(\alpha-x) $
Per cui , l'area del rettangolo è : $ A = PM*PQ = ...... = r^2/(sen\alpha)*senx*sen(\alpha-x) $ . Ci sei fin qui ?
Calcola $(dA)/(dx)$ e uguaglia a zero . Ottieni alla fine : $ r^2/(sen\alpha)* sen(\alpha-2x) = 0 $
Perciò deve essere : $\alpha – 2x = 0$ ,da cui : $ x = \alpha/2 $
Ma io non mi fido mai di me , quindi ripeti tutto il procedimento e controlla se va bene.
Non ci credo... 
avevo fatto un errore di scrittura ricopiando un passaggio: invece di $sen(\alpha)$ avevo messo $senx$
Comunque a parte questo piccolo errore di distrazione all'Area ci sono arrivato.
Quando però derivo l'area non mi trovo... metto fuori della parentesi $r^2/sin\alpha$ che moltiplico per la prima derivata per la seconda non derivata più la prima non derivata per la seconda derivata...che poi sono differenze di angoli che dovrei risolvere con le formule di somma e sottrazione e vengono calcoli lunghi e macchinosi...
devo procedere o per caso ci sono altre vie più brevi?
P.S: esistono delle formule che dicono che pongono in forma più elegante espressioni come ad esempio $senx⋅sen(α−x)$?
Ad essere sincero non mi ricordo...
Grazie per l'aiuto, fino all'area anche se abbiamo fatto in modi diversi è tutto corretto...ora sto incontrando un po' di difficoltà a derivare (più che altro per i calcoli fastidiosi che in genere tendo ad evitare a meno che non siano proprio l'ultima sponda)
avevo fatto un errore di scrittura ricopiando un passaggio: invece di $sen(\alpha)$ avevo messo $senx$ Comunque a parte questo piccolo errore di distrazione all'Area ci sono arrivato.
Quando però derivo l'area non mi trovo... metto fuori della parentesi $r^2/sin\alpha$ che moltiplico per la prima derivata per la seconda non derivata più la prima non derivata per la seconda derivata...che poi sono differenze di angoli che dovrei risolvere con le formule di somma e sottrazione e vengono calcoli lunghi e macchinosi...
devo procedere o per caso ci sono altre vie più brevi?
P.S: esistono delle formule che dicono che pongono in forma più elegante espressioni come ad esempio $senx⋅sen(α−x)$?
Ad essere sincero non mi ricordo...
Grazie per l'aiuto, fino all'area anche se abbiamo fatto in modi diversi è tutto corretto...ora sto incontrando un po' di difficoltà a derivare (più che altro per i calcoli fastidiosi che in genere tendo ad evitare a meno che non siano proprio l'ultima sponda)
Un modo ,anche piuttosto elegante, ci sarebbe e scavalca allegramente l'uso delle derivate.Ricordo la formula di prostaferesi:
\(\displaystyle \sin p\sin q=\frac{1}{2}\left[\cos(p-q) -\cos(p+q)\right]\)
Applicandola al caso nostro ( e prescindendo dal fattore positivo e costante \(\displaystyle \frac{r^2}{\sin\alpha} \)) la funzione da studiare è:
\(\displaystyle f(x)=\sin x\sin(\alpha-x)=\frac{1}{2}[\cos(2x-\alpha)-\cos(\alpha) ],0
\(\displaystyle \cos(2x-\alpha)=1 \)
ovvero per : \(\displaystyle 2x-\alpha=0\) da cui si ricava appunto \(\displaystyle x=\frac{\alpha}{2} \)
\(\displaystyle \sin p\sin q=\frac{1}{2}\left[\cos(p-q) -\cos(p+q)\right]\)
Applicandola al caso nostro ( e prescindendo dal fattore positivo e costante \(\displaystyle \frac{r^2}{\sin\alpha} \)) la funzione da studiare è:
\(\displaystyle f(x)=\sin x\sin(\alpha-x)=\frac{1}{2}[\cos(2x-\alpha)-\cos(\alpha) ],0
\(\displaystyle \cos(2x-\alpha)=1 \)
ovvero per : \(\displaystyle 2x-\alpha=0\) da cui si ricava appunto \(\displaystyle x=\frac{\alpha}{2} \)
Fregior,
vittorino ha scavalcato le derivate , e va anche bene! PErò la derivata di quella espressione lì non è poi tanto difficile ! Prova , con calma e con pazienza , e vedrai che ci riesci . Spesso non riporto tutti i passaggi , perchè è lungo e brigoso , e poi chi legge dovrebbe far qualcosa anche lui ...
Anch'io ho sbagliato un paio di volte , ma il problema principale per me è scrivere le formule nel linguaggio qui in uso , il che spesso mi fa sbagliare... ma non possiamo evitarlo .
Ciao
vittorino ha scavalcato le derivate , e va anche bene! PErò la derivata di quella espressione lì non è poi tanto difficile ! Prova , con calma e con pazienza , e vedrai che ci riesci . Spesso non riporto tutti i passaggi , perchè è lungo e brigoso , e poi chi legge dovrebbe far qualcosa anche lui ...
Anch'io ho sbagliato un paio di volte , ma il problema principale per me è scrivere le formule nel linguaggio qui in uso , il che spesso mi fa sbagliare... ma non possiamo evitarlo .
Ciao
Grazie per il metodo alternativo,
comunque per la derivata ecco il mio svolgimento:
$(senx⋅sen(α−x))' = cosxsen(\alpha-x)+senxcos(\alpha-x) $
$(senx⋅sen(α−x))' = -cosx(sen\alphacosx-cos\alphasenx) - senx(cos\alphacosx+sen\alphasenx)$
$(senx⋅sen(α−x))' =-sen\alpha(1-(senx)^2) -sen\alpha(senx)^2$
Cosa sbaglio?
Mi viene che si eliminano le incognite (x)
comunque per la derivata ecco il mio svolgimento:
$(senx⋅sen(α−x))' = cosxsen(\alpha-x)+senxcos(\alpha-x) $
$(senx⋅sen(α−x))' = -cosx(sen\alphacosx-cos\alphasenx) - senx(cos\alphacosx+sen\alphasenx)$
$(senx⋅sen(α−x))' =-sen\alpha(1-(senx)^2) -sen\alpha(senx)^2$
Cosa sbaglio?
Mi viene che si eliminano le incognite (x)
"Fregior":
Grazie per il metodo alternativo,
comunque per la derivata ecco il mio svolgimento:
$(senx⋅sen(α−x))' = cosxsen(\alpha-x)+senxcos(\alpha-x) $
$(senx⋅sen(α−x))' = -cosx(sen\alphacosx-cos\alphasenx) - senx(cos\alphacosx+sen\alphasenx)$
$(senx⋅sen(α−x))' =-sen\alpha(1-(senx)^2) -sen\alpha(senx)^2$
Cosa sbaglio?
Mi viene che si eliminano le incognite (x)
Ecco dove sbagli , Fre : proprio nel primo rigo , ti sei dimenticato che devi derivare , nel secondo termine al secondo membro , anche $(-x) $ , la cui derivata fa $ -1 $ . Per cui viene :
$(senx⋅sen(α−x))' = cosxsen(\alpha-x)+senxcos(\alpha-x) ( -1) = cosxsen(\alpha-x) - senxcos(\alpha-x)$
Lo vedi il segno "-" tra i due termini ?
Ora , questo non è altro che : $ sen[(\alpha-x)-x] $ , sviluppato secondo le formule di addizione e sottrazione !
Cioè , è uguale a $sen(\alpha-x-x) = sen ( \alpha - 2x) $
Sei arrivato al capolinea. Neanche il tempo di obliterare il biglietto....Ma tu , obliteri o non obliteri ? Dimmi la verità...
Ciao Navigatore, apprezzo sempre il tuo spirito!
Grazie gio73 , ma qui più che lo spirito conta la Matematica .
Che si può trattare anche con spirito , evidentemente.
Che si può trattare anche con spirito , evidentemente.
Ringrazio navigatore per la buona dose di umorismo, troppo divertente...
Parlando di cose serie, io non capisco se a quel risultato si arriva in modo diretto o indiretto.
Perché io faccio la derivata e svolgendo con le formule di addizione e sottrazione il seno e il coseno di alpha - x arrivo al punto: $2sen^2xsen\alpha +sen2xcos\alpha - sen\alpha>0$ se devo essere sincero non mi ricordo come si risolveva questa disequazione, ma fino a qui è giusto? Qualcuno potrebbe illuminarmi? (Ci terrei a sottolineare che il mio problema è stato sempre lì alla fine)
Parlando di cose serie, io non capisco se a quel risultato si arriva in modo diretto o indiretto.
Perché io faccio la derivata e svolgendo con le formule di addizione e sottrazione il seno e il coseno di alpha - x arrivo al punto: $2sen^2xsen\alpha +sen2xcos\alpha - sen\alpha>0$ se devo essere sincero non mi ricordo come si risolveva questa disequazione, ma fino a qui è giusto? Qualcuno potrebbe illuminarmi? (Ci terrei a sottolineare che il mio problema è stato sempre lì alla fine)
Fregior , tu vuoi dire : prima calcolo il $sen(\alpha-x)$ , poi moltiplico per $senx$ , poi derivo , e infine uguaglio a zero la derivata ? Bè , facciamolo :
prima calcolo: $sen(\alpha-x) = sen\alpha*cosx - cos\alpha*senx$ , poi moltiplico per $senx$ , ottenendo :
$sen\alpha*cosx *senx - cos\alpha*sen^2x = 1/2*sen\alpha*sen2x - cos\alpha*sen^2x$ .
Ora devi derivare rispetto a $x$ , e uguagliare a zero la derivata , ok ? Quindi si ha , per derivazione :
$1/2*sen\alpha*2*cos2x - cos\alpha* 2senx*cosx = sen\alpha*cos2x - cos\alpha*sen2x = sen(\alpha-2x) $
Uguagliando quest'ultima a zero : $ sen(\alpha-2x) = 0 $ , che è lo stesso risultato di prima . non capisco da dove viene fuori la disequazione .
Forse commetti qualche banale errore nel derivare . Controlla .
prima calcolo: $sen(\alpha-x) = sen\alpha*cosx - cos\alpha*senx$ , poi moltiplico per $senx$ , ottenendo :
$sen\alpha*cosx *senx - cos\alpha*sen^2x = 1/2*sen\alpha*sen2x - cos\alpha*sen^2x$ .
Ora devi derivare rispetto a $x$ , e uguagliare a zero la derivata , ok ? Quindi si ha , per derivazione :
$1/2*sen\alpha*2*cos2x - cos\alpha* 2senx*cosx = sen\alpha*cos2x - cos\alpha*sen2x = sen(\alpha-2x) $
Uguagliando quest'ultima a zero : $ sen(\alpha-2x) = 0 $ , che è lo stesso risultato di prima . non capisco da dove viene fuori la disequazione .
Forse commetti qualche banale errore nel derivare . Controlla .
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