Problema di massimo

[mariottini]

Ragazzi. Ri-vengo in Pace!

Ho svolto questo esercizio nel seguente modo, potreste gentilmente dirmi se lo ho svolto nel modo giusto o meno? Grazie Tante!


Una finestra ha la forma di un rettangolo sormontata da un triangolo equilatero. Se il perimetro totale è di m 10, quali devono essere le dimensioni del rettangolo affinché dalla finestra entri la maggior quantità di luce.

X= Base rettangolo( e triangolo)
Y= Altezza del rettangolo
P= 10 m

3x+2y=10 ----> y= 10-3x/2

A(x)=area rett.+ area triangolo
A(x)= (x*y)+(x*h/2)
A(x)= x*(10-3x/2)+ x* (x*√3/2)=
=(10x/2 - 3x²/2)+ (x²√3/2)=
=5x- 3√3/2 x².

A’(x)= 5-3√3x ---> x= 5/3√3
Ponendo questo risultato maggiore uguale a zero mi accorgo che è un punto di max. Quindi basta trovarmi la y sostituendo la x all’eq. Iniziale e trovo le soluzioni del problema. E quindi x=5/3√3 e y= 25/3
Giusto?
Grazie

[chiaraotta1]

Mi sembra che ci sia qualcosa che non va .....
L'altezza del triangolo equilatero è $h = x * (sqrt(3)/2)$. Quindi l'area totale è:
$A(x) = \text {area rett.+ area triangolo} = (x * y) + (1/2 * x * h) = x * (10 - 3 * x)/2+ 1/2 * x * x * sqrt(3)/2 = 5 * x - 3/2 * x^2 + sqrt(3)/4 * x^2 = ( sqrt(3)/4 - 3/2)*x^2 + 5 * x$.
$A'(x) = (sqrt(3)/2 - 3)*x + 5$ e $A'(x) = 0 \text { per } x = 5/(3 - sqrt(3)/2) = 10/(6 - sqrt(3)) = (10 * (6 + sqrt(3)))/33$. Il grafico di $A(x)$ è una parabola rivolta verso il basso e quindi il massimo è nel vertice, la cui ascissa è appunto $x = (10 * (6 + sqrt(3)))/33$. Infine $y = 5 - 3/2 * x = 5 - 3/2 * (10 * (6 + sqrt(3)))/33 = 5 - (5 * (6 + sqrt(3)))/11 = (55 - 30 - 5 * sqrt(3))/11 = 5 * (5 - sqrt(3))/11$.

[mariottini]

Perfetto! Mi scordavo un "diviso 2" per il resto il procedimento era giusto!
Grazie mille sei stata chiarissima!!!

ciao ciao

[chiaraotta1]

No, c'era un altro errore: nel calcolo dell'area hai scritto che $- 3/2 x^2 + sqrt(3)/2 x^2 = - 3sqrt(3)/2 x^2$ . E' sbagliato!!