Problema di massimo

[maria601]

Tra i triangoli inscritti in una circonferenza trovare quello per il quale risulta massima la somma dell'altezza e il doppio della base. L'unica formula che ho trovato è il raggio è uguale la prodotto dei lati diviso 4 volte l'area, ma come dedurre base ed altezza ?

[Fregior]

Devi impostare un problema di massimo. Esprimerti con una funzione le grandezze incognite e trovare il massimo della funzione. A tal punto il problema è pressoché risolto.
Come scriveresti la funzione e il problema di $max$?

[chiaraotta1]

Sicura che si tratti di un triangolo generico? Perché così è un problema in due variabili (due angoli).

[minomic]

"chiaraotta":Sicura che si tratti di un triangolo generico? Perché così è un problema in due variabili (due angoli).

Sì in effetti era sembrato anche a me. Meglio controllare il testo...

[maria601]

si è un triangolo generico, potreste essere più chiari ? grazie

[chiaraotta1]

Mi sembra che si potrebbe ragionare così....
Il triangolo inscritto nel cerchio di raggio $r$ sia $ABC$, con lati $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$ e angoli $alpha=C hat AB$, $beta=A hat BC$ e $gamma=B hat CA=pi-(alpha+beta)$.
Supponiamo di prendere come base il lato $c$ e come altezza $h$ relativa a $c$.
Allora, per il teorema della corda,
$c=2rsin gamma=2rsin[pi-(alpha+beta)]=2rsin(alpha+beta)$.
Inoltre
$h=bsin alpha$,
ma, sempre per il teorema della corda,
$b=2r sin beta$
e quindi
$h=bsin alpha=2r sin alpha sin beta$.
Ma la funzione di cui si cerca il massimo è
$f=h+2c$
che quindi diventa
$f(alpha, beta)=2r sin alpha sin beta+2*2rsin(alpha+beta)=$
$2r[sin alpha sin beta+2sin(alpha+beta)]$.

[rino6999]

secondo me il testo diceva ." Tra tutti i triangoli isosceli inscritti......."

[maria601]

Potremmo risolvere senza il teorema della corda ?

[giammaria2]

Suppongo che si possa risolvere anche senza il teorema della corda, ma a che scopo? In presenza di circonferenze è uno dei teoremi di maggiore utilità, nonché dotato di formula semplice.

[maria601]

Vorrei capire

[chiaraotta1]

Certo, hai ragione. Ma cos'è esattamente quello che non ti è chiaro?

[maria601]

Sono partita dalla relazione $ r= (ab)/(2h) $ dove r è il raggio, a,b due lati , h l'altezza uscente dai due lati, quindi dovrei introdurre più di un'incognita, ma non saprei come risolvere ..

[chiaraotta1]

Per caso non è che si tratti di un triangolo inscritto in una semicirconferenza?

[Sk_Anonymous]

Secondo me occorre partire da un triangolo isoscele ( inscritto) anche se la consegna non esplicita questa richiesta. Infatti ( vedi fig.) se A'BC è il generico triangolo inscritto nella data circonferenza e ABC è il triangolo isoscele di base BC ed egualmente inscritto nella circonferenza (con A ed A' dalla medesima parte rispetto a BC), essendo $AH>A'H'$, è sicuramente : $2 cdot BC+AH> 2cdot BC+A'H'$
E dunque per il massimo richiesto occorre partire da un triangolo isoscele...

Si parla tanto in TV dei soprusi dell'uomo ( inteso come maschio ! ) sulla donna ( intesa come femmina... ) . Ma quand'è che si parlerà dei soprusi della donna sull'uomo ?

[Sk_Anonymous]

Riprendo questo post per mostrare come sia possibile risolvere il quesito proposto senza introdurre incognite ed utilizzando solo una ...spruzzatina di trigonometria. ( ammesso che ci sia qualcuno interessato a questo genere di soluzioni ! ).
Sia dunque ABC il triangolo [necessariamente isoscele su BC, per quanto già detto in altra mia risposta] e di esso sia AH l'altezza relativa a BC. Si prolunghi AH di $HD=2 cdot BC$ e si congiunga D con B ( vedi fig.) In tal modo risulta :
$AD=AH+HD=AH+2 cdot BC$ e quindi $AD$ è il segmento da "massimizzare ".
Detto $ alpha $ l'angolo HDB, dal triangolo HDB si ha :
$tg alpha={HB}/{HD}={1/2BC}/{2 BC}=1/4$
Pertanto $alpha $ è un angolo noto.
Volendo "massimizzare " AD occorre far scorrere la retta DB in modo che risulti parallela a se stessa ( ovvero formi con AD sempre lo stessso angolo $alpha$ ) ed inoltre intersechi la circonferenza $gamma$ circoscritta ad ABC.
Per effetto di queste condizioni è evidente che il massimo consentito per AD si ottiene quando la retta DB cade sulla retta $D_1B_1$ tangente a $gamma $ in $B_1$, ovvero quando AD diventa $AD_1$ . Il triangolo richiesto risulta allora essere $AB_1C_1$, segnato in colore rosso.
Passiamo ai calcoli. Dal triangolo rettangolo $OH_1B_1$ si ha :
$OH_1=OB_1 sin alpha =r /{sqrt {17}},H_1B_1=OB_1 cos alpha={4r}/{sqrt {17}}$
Dal triangolo rettangolo $H_1B_1D_1$ si trae che :
$H_1D_1=H_1B_1 cot alpha={4r}/{sqrt {17}} cdot 4={16 r}/{ sqrt {17}} $
Pertanto si ottiene che :
$AD_1=AO+OH_1+H_1D_1=r+r/{sqrt {17}}+{16r}/{sqrt{17}}=r(1+sqrt{17})$
e questo è il massimo consentito.
Per completezza calcoliamo anche base ed altezza del triangolo $AB_1C_1$. Risulta :
$B_1C_1=2 cdot H_1B_1={8r}/{sqrt {17}}$
$AH_1=AO+OH_1=r+r/{sqrt {17}}=r/{sqrt {17}} cdot (1+ sqrt{17})$