Problema di iperbole e di ellisse
Salve a tutti. Domani ho il compito e quindi farò dei problemi simili a questi.
Chiedo il vostro aiuto su alcuni dubbi.
Determinare l'equazione di un ellisse passante per l'origine degli assi e per i fuochi i punti $F(1,1), F2(1,-1)$.
Determinare l'equazione dell'iperbole che ha un vertice nel punto $V(1,0)$ e un fuoco nel punto $F(2,0)$. Determinare gli asndoti dell'iperbole e la misura dell'area del triangolo formato dagli asindoti dell'iperbole e dall'asse di simmetria dell'ellisse parallelo all'asse delle ordinate
---
Dunque.
L'ellisse richiesto passa per il punto 0,0, quindi posso ricreare la condizione di luogo geometrico
$OF + OF2 = 2a$
La formula della distanza è
$sqrt((x2 - x1)^2) + sqrt((y2-y1)^2)$
Quindi svolgiamo.
$PF = sqrt((1-0)^2) + sqrt((0-1)^2)$
$PF2 = sqrt((1-0)^2) + sqrt((-1-0)^2)$
Quindi
$sqrt((1-0)^2) + sqrt((0-1)^2) + sqrt((1-0)^2) + sqrt((-1-0)^2) = 2a$
$sqrt(1+1) + sqrt(1+1) = 2a$
$2sqrt(2) = 2a$
$a = sqrt(2)$
Noi sappiamo che c = 1, e sappiamo anche che
$a^2 - c^2 = b^2$
quindi
$2 - 1 = b^2$
Ricapitolando
$
a = sqrt(2)
b = 1
c = 1
$
Possiamo quindo formare l'equazione
$x^2/2 + y^2 = 1$
Moltiplichiamo e...
$x^2 + 2y^2 = 2$
Il risultato pubblicato sul libro è
$2x^2+y^2-4x = 0$
Non capisco perchè non mi riesco a trovare...
Ad ogni modo passo al secondo punto del problema. dato che il vertice dell'iperbole è comunque un punto appartenente all'iperbole, posso fare lo stesso ragionamento analogo a quello fatto sopra.
Risultato: non mi trovo lo stesso.
Infatti...
$sqrt((2-1)^2) + sqrt((-2-1)^2 + 0) = 2a$
$1 - 3 = 2$
$2a = 2$
$a = 1$
Ecco quindi che vengono fuori i tre coiefficienti dell'equazione
$a = 1$
$c = 2$
$b = sqrt(3)$, essendo $b^2 = c^2 - a^2$
Scriviamo quindi l'equazione
$x^2 - y^2/3 = 1$
Moltiplicando
$3x^2 - y^2 = 3$.
Bene mi sono trovato proprio mentre scrivevo la situazione qui, evidentemente ho fatto qualche errore di calcolo. Se vi può servire come problema potete anche pubblicarlo. Comunque continuiamo
Gli asindoti hanno equazione $y = +- (b/a)x$
Quindi gli asindoti saranno
$ y = +- sqrt(3)x $
E per il resto? come mai l'equazione dell'ellisse non viene fuori correttamente?
Ora possiamo passare al prossimo problema
Trovare il punto P comune alle due rette di equazione $y = 3/13 sqrt(3) x + 15/26 sqrt(3)$ e $y= sqrt(3)x - 5/2 sqrt(3)$ e le ascisse dei punti di intersezione F1 e F2 delle rette con l'asse delle x
Trovare l'equazione dell'ellisse avente per fuochi i due punti F1 e F2 passante per P
Il punto P si può pensare orttenuto intersecando due circonferenze di centri F1 e F2. Trovare l'equazioni delle due circonferenze
Il punto in comune delle due rette è dato facendo il loro sistema, che è moooolto tortuoso.
Questo può essere eseguito grazie al metodo del confronto, secondo il quale avremo
$3/13 sqrt(3) x + 15/26 sqrt(3) - sqrt(3)x + 5/2 sqrt(3) = 0$
finchè avremo
$10/13 sqrt(3) x - 40/13 sqrt(3) = 0$
$x = 10/13 sqrt(3) * 13/40 sqrt(3) = 0$
$x = 4$
Sostituendo la x all'equazione otteniamo il punto p
$P(4,3/2 sqrt(3)$
Per trovare le intersezioni mettiamo l'eqauziaione a sistema con l'asse delle x (cio è y = 0)
e quindi sappiamo che i fuochi hanno coordinate $+- 5/2,0$
Ora dobbiamo trovare l'equazione dell'ellisse. Sfruttando lo stesso metodo che ho fatto sopra mi ritrovo con una equazione che fa
$3x^2 + 4y^2 = 12$
mentre il risultato invece di 12 è 75...ma dove sbaglio?
Il secondo punto invece non riesco proprio a farlo.
Avete delle idee? Speriamo bene per il compito
Grazie mille a tutti.
Chiedo il vostro aiuto su alcuni dubbi.
Determinare l'equazione di un ellisse passante per l'origine degli assi e per i fuochi i punti $F(1,1), F2(1,-1)$.
Determinare l'equazione dell'iperbole che ha un vertice nel punto $V(1,0)$ e un fuoco nel punto $F(2,0)$. Determinare gli asndoti dell'iperbole e la misura dell'area del triangolo formato dagli asindoti dell'iperbole e dall'asse di simmetria dell'ellisse parallelo all'asse delle ordinate
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Dunque.
L'ellisse richiesto passa per il punto 0,0, quindi posso ricreare la condizione di luogo geometrico
$OF + OF2 = 2a$
La formula della distanza è
$sqrt((x2 - x1)^2) + sqrt((y2-y1)^2)$
Quindi svolgiamo.
$PF = sqrt((1-0)^2) + sqrt((0-1)^2)$
$PF2 = sqrt((1-0)^2) + sqrt((-1-0)^2)$
Quindi
$sqrt((1-0)^2) + sqrt((0-1)^2) + sqrt((1-0)^2) + sqrt((-1-0)^2) = 2a$
$sqrt(1+1) + sqrt(1+1) = 2a$
$2sqrt(2) = 2a$
$a = sqrt(2)$
Noi sappiamo che c = 1, e sappiamo anche che
$a^2 - c^2 = b^2$
quindi
$2 - 1 = b^2$
Ricapitolando
$
a = sqrt(2)
b = 1
c = 1
$
Possiamo quindo formare l'equazione
$x^2/2 + y^2 = 1$
Moltiplichiamo e...
$x^2 + 2y^2 = 2$
Il risultato pubblicato sul libro è
$2x^2+y^2-4x = 0$
Non capisco perchè non mi riesco a trovare...
Ad ogni modo passo al secondo punto del problema. dato che il vertice dell'iperbole è comunque un punto appartenente all'iperbole, posso fare lo stesso ragionamento analogo a quello fatto sopra.
Risultato: non mi trovo lo stesso.
Infatti...
$sqrt((2-1)^2) + sqrt((-2-1)^2 + 0) = 2a$
$1 - 3 = 2$
$2a = 2$
$a = 1$
Ecco quindi che vengono fuori i tre coiefficienti dell'equazione
$a = 1$
$c = 2$
$b = sqrt(3)$, essendo $b^2 = c^2 - a^2$
Scriviamo quindi l'equazione
$x^2 - y^2/3 = 1$
Moltiplicando
$3x^2 - y^2 = 3$.
Bene mi sono trovato proprio mentre scrivevo la situazione qui, evidentemente ho fatto qualche errore di calcolo. Se vi può servire come problema potete anche pubblicarlo. Comunque continuiamo
Gli asindoti hanno equazione $y = +- (b/a)x$
Quindi gli asindoti saranno
$ y = +- sqrt(3)x $
E per il resto? come mai l'equazione dell'ellisse non viene fuori correttamente?
Ora possiamo passare al prossimo problema
Trovare il punto P comune alle due rette di equazione $y = 3/13 sqrt(3) x + 15/26 sqrt(3)$ e $y= sqrt(3)x - 5/2 sqrt(3)$ e le ascisse dei punti di intersezione F1 e F2 delle rette con l'asse delle x
Trovare l'equazione dell'ellisse avente per fuochi i due punti F1 e F2 passante per P
Il punto P si può pensare orttenuto intersecando due circonferenze di centri F1 e F2. Trovare l'equazioni delle due circonferenze
Il punto in comune delle due rette è dato facendo il loro sistema, che è moooolto tortuoso.
Questo può essere eseguito grazie al metodo del confronto, secondo il quale avremo
$3/13 sqrt(3) x + 15/26 sqrt(3) - sqrt(3)x + 5/2 sqrt(3) = 0$
finchè avremo
$10/13 sqrt(3) x - 40/13 sqrt(3) = 0$
$x = 10/13 sqrt(3) * 13/40 sqrt(3) = 0$
$x = 4$
Sostituendo la x all'equazione otteniamo il punto p
$P(4,3/2 sqrt(3)$
Per trovare le intersezioni mettiamo l'eqauziaione a sistema con l'asse delle x (cio è y = 0)
e quindi sappiamo che i fuochi hanno coordinate $+- 5/2,0$
Ora dobbiamo trovare l'equazione dell'ellisse. Sfruttando lo stesso metodo che ho fatto sopra mi ritrovo con una equazione che fa
$3x^2 + 4y^2 = 12$
mentre il risultato invece di 12 è 75...ma dove sbaglio?
Il secondo punto invece non riesco proprio a farlo.
Avete delle idee? Speriamo bene per il compito
Grazie mille a tutti.
Risposte
"Vincent":
........
Possiamo quindo formare l'equazione
$x^2/2 + y^2 = 1$
Moltiplichiamo e...
$x^2 + 2y^2 = 2$
Il risultato pubblicato sul libro è
$2x^2+y^2-4x = 0$
Non capisco perchè non mi riesco a trovare...
L'asse maggiore dell'ellisse è parallelo all'asse y e il suo centro ha coordinate C(1;0) (punto medio di FF2).
La sua equazione è perciò:
$(x-1)^2/b^2+(y-0)^2/a^2=1$
Inserendo i valori di a e b e semplificando si trova il risultato del testo cioè:
$2x^2+y^2-4x=0$
mmm non sono riuscito a capire bene.
Questo stesso ragionamento non si può applicare però anche al problema di sott overo?
Questo stesso ragionamento non si può applicare però anche al problema di sott overo?
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