Problema di II grado in 2 incognite

[Coppus]

Dato un triangolo ABC equilatero di lato a, determinare su una delle sue altezze un punto M in modo tale che la somma delle sue distanze dai 3 vertici sia congruente alla somma dell'altezza e del lato del triangolo dato.
Risultato [distanza di M dal piede dell'altezza: 2/3 a;0]

Grazie.
-Coppus-

[MaMo2]

Indichiamo con x la distanza del punto M dal piede dell'altezza H.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo AMH si ottiene la distanza di M dai due vertici A e B. Si ha:
AM = BM = (x² + a²/4)
La distanza del punto M dal vertice C è h - x.
Possiamo perciò scrivere la seguente uguaglianza:
2(x² + a²/4) + h - x = h + a
Semplificando ed isolando il radicale si ottiene:
(4x² + a²) = a + x
Elevando al quadrato entrambi i membri si trovano le soluzioni x = 0 e x = (2/3)a.