Problema di goniometria

[lynyrd96]

Salve ragazzi, ho passato il pomeriggio a cercare di risolvere questo problema, ma invano... Il triangolo $ ABC $ è inscritto in una circonferenza di centro O. Sapendo che $ cos hat(CAO)= 3/5 $ e che $ tan hat(OBA)= sqrt3/3 $ , calcola $ sen hat(CBO) $ . SOLUZIONE: $ (3sqrt3-4)/10 $

Allora, prima ho fatto il disegno e ho segnato le congruenze. Ho pensato di arrivare all'angolo $ hat(CBO) $ tramite $ hat(COB) $ infatti esso si può scrivere come $ pi -2hat(CBO) $ a sua volta esso è il doppio dell'angolo al vertice $ hat(CAB) $ . Ho quindi trovato il coseno e il seno di OBA e il seno di CAO e ho trovato il $ cos (hat(OAB)+hat(CAO)) $ . Ho usato formule di duplicazione e così via e non arrivo al risultato.

Ho cercato di arrivarci per via analitica:
$ O(0;0) $ $ A(-sqrt3/2;-1/2) $ $ B(sqrt3/2;-1/2) $ e non trovo le coordinate di $ C $ . Devo utilizzare i dati $ bar(AQ) =3/5 $ e $ bar(QO) =4/5 $ quindi ho provato a mettere a sistema le formule delle distanze tra i punti $ A $ e $ Q (x;y) $ e $ O $ ma non riesco a trovare Q, poi ho cercato di fare la formula della distanza tra $ C(x; sqrt(1-x^2)) $ e $ A $ ma niente.

Grazie in anticipo!

[porzio1]

$ Ohat(A)B=Ohat(B)A $ perché $OB=OA=r$
per il teorema dell corda,$BC=2rsen (Ohat(A)B+Ohat(A)C )$

per uno dei teoremi sui triangoli rettangoli,$(BC)/2=OBcosOhat(B)C =rcosOhat(B)C$

quindi, $ cosOhat(B)C =sen(Ohat(A)B +Ohat(A)C) $