Problema di geometria,con i criteri di similitudine. (81886)

[Antonio_Esposito95]

Ragazzi, scusatemi se continuo a postarli, mi servono per il compito..e devo studiarmeli!


In un triangolo acutangolo ABC,il lato AB e la sua proiezione AP sul lato AC misurano 18 cm e 6 cm ,mentre BC=17cm. Sapendo che una corda MN parallela ad AC interseca l'altezza BP nel punto D tale che BD=2*DP,Determinare il perimetro e l'area del triangolo BMN. Risultato [28;56/3 Radical 2]

[Ali Q]

Soluzione:

Prima di tutto, è necessario calcolare la misura di tutti e tre i lati del traingolo ABC.
Calcoliamo dunque

[math]BP^2[/math]

(per il momento BP non ci interessa) grazie al teorema di Pitagora, in quanto cateto del triangolo rettangolo ABP.

[math]BP^2 = AB^2 - AP^2= 18^2 - 6^2= 288 cm^2[/math]

Adesso possiamo determinare PC, in quanto cateto di BPC.

[math]PC = \sqrt{BC^2 - BP^2}= \sqrt{17^2 - 288}= \sqrt{289 - 288}= 1 cm[/math]

[math]AC = AP + PC = 6 + 1 = 7 cm[/math]

I due traingoli MBN e ABC sono tra loro simili. Infatti, essensdo MN parallelo ad Ac, i due triangoli hanno gli angoli tutti uguali.
I loro lati sono dunque proporzionali.
Calcoliamo il rapporto

[math]BP/BD[/math]

.

So che

[math]BP = BD + DP[/math]

[math]BD = 2 DP[/math]

Quindi

[math]BP = BD + BD/2 = 3/2 BD[/math]

[math]BD = BP*2/3[/math]

Allora

[math]P (MBN) = P (ABC)*2/3 = (18+17 + 7)*2/3 = 42*2/3 = 28 cm[/math]

[math]MN = 2/3* AC = 2/3* 7 = 14/3 cm[/math]

[math]BD = 2/3* BP = 2/3* \sqrt{288} = 2/3*12*\sqrt{2} = 8\sqrt{2}[/math]

[math]Area (MBN) = MN*BD/2 = (14/3* 8\sqrt{2})/2 = 56/3*\sqrt{2} cm^2[/math]

[Antonio_Esposito95]

Ricontrollato ..L'ho scritto bene..

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Come al solito sei sempre veloce e brava nel rispondermi, mi complimento con te e ti ringrazio...!!