Problema di geometria,con i criteri di similitudine.

[Antonio_Esposito95]

C'è un problema che da giorni proprio non riesco a capire ..

Determinare il perimetro del triangolo ABC rettangolo in B,sapendo che il cateto AB è lungo 16 cm e che la differenza degli altri due lati misura 8 cm.
La perpendicolare ad AB condotta da un suo punto T interseca AC nel punto P distante 15 cm da A. Determinare il perimetro del triangolo ATP e verificare che T è il punto in cui la circonferenza inscritta nel triangolo ABC tocca il lato AB.


Risultato [48;36]

[Ali Q]

Ciao, Antonio! Intanto ti ho risolto i primi due quesiti. Tra un attimo ti posto anche l'ultimo.

Soluzione:

So che:

[math]AB = 16 cm[/math]

[math]AC - BC = 8 cm[/math]

cioè AC = 8 + BC

Questi tre lati sono legati tra loro attraverso il teorema di Pitagora. Posso cioè scrivere, ad esempio:

[math]BC^2 = AC^2 - AB^2 = (8+BC)^2 - 16^2 = 64 + BC^2 +16 BC - 256. [/math]

Diviene:

[math]0 = -192 +16 BC [/math]

[math]BC = 192/16 = 12 cm[/math]

Quindi

[math] AC = 8 + BC = 20 cm[/math]

[math]Perimetro = AB + BC + AC = 12 + 16 + 20 = 48 cm[/math]

I triangoli ABC e ATP sono tra loro simili. Infatti hanno i tre angoli uguali: l'angolo BAC è in comune; ATP e ABC sono retti entrambi, e l'angolo APT è uguale all'angolo ACB poichè TP è parallela a BC (in quanto perpendicolare ad AB).

Nei traingoli simili tutti gli angoli sono tra loro proporzionali. Spiego che cosa significa.
L'ipotenusa AC del traingolo ABC misura 20 cm.
L'ipotenusa AP del traingolo ATP misura invece 15 cm.
Quindi

[math]AP/AC = 15/20 = 3/4[/math]

Ogni lato del traingolo ATP è dunque pari ai tre quarti del lato ad esso corrispettivo nel triangolo ABC.
Ragion per cui si può scrivere che

[math]P (ATP) = 3/4* P (ABC) = 3/4*48 = 36 cm[/math]

Aggiunto 7 minuti più tardi:

Ultima parte:

Calcoliamo innanzi tutto i restanti lati del triangolo ATP.

[math]AP = 15 cm[/math]

[math]AT = 3/4*AB = 3/4*16 = 12 cm[/math]

[math]TP = 3/4*BC = 3/4*12 = 9 cm[/math]

Ora, il raggio della circonferenza inscritta in un poligono prende il nome di APOTEMA.
L'apotema di un qualsiasi poligono può essere determinato sapendo che esso è pari, per qualsiasi poligono, a:

[math]2* Area/perimetro[/math]

Nel nostro caso

[math] P (ABC) = 48 cm[/math]

[math]A (ABC) = AB*BC/2 = 16*12/2 = 96 cm^2[/math]

Quindi

[math]APOTEMA = raggio = 2*96/48 = 4 cm.[/math]

Se T è il punto dove la circonferenza tocca AB, significa che il suo generico centro O deve trovarsi su TP e che OT misura 4 cm.
Ma questo significa che anche BT (segmento di AB parallelo al raggio della circonferenza perpendicolare al lato BC) deve misurare 4 cm!
Vediamo se è così:

[math]AB - AT = 16 -12 = 4 cm[/math]

Fine della dimostrazione. Ciao, Antonio!