Problema di geometria riconducibile ad 1 equazione di 1 grado ad 1 incognita

[gemmaartistica]

In un triangolo ABC, isoacele sulla base AB, i lati congruenti sono i 5/8 di AB. Sapendo che l'h relativa ad AB è 4 cm meno della lunghezza dei 2 lati obliqui, determina le lunghezze dei due lati del triangolo

[carlogiannini]

Chiamiamo
B = Base
L = Lato
h = altzza
Se

[math]L=\frac{5}{8}B\\allora:\\
\frac{L}{B}=\frac{5}{8}=\frac{5x}{8x}\\quindi\ possiamo\ scrivere:\\L=5x\\B=8x\\[/math]

.
.
Se l'altezza è 4 cm più corta dei lati obliqui, possiamo scrivere:
.
h = L - 4 = 5x - 4 .
.
Per "legare" questi dati in una equazione usiamo il Teorema di Pitagora tra metà Base, altezza e Lato obliquo:
.

[math](4x)^2+(5x-4)^2=(5x)^2\\16x^2+25x^2+16x-40x=25x^2\\16x^2-40x+16=0\\2x^2-5x+2=0\\x_{1,2}=\frac{+5\pm \sqrt{25-16}}{4}\\x_1=+\frac{1}{2}\\x_2=+2\\[/math]

.
.
Ora verifichiamo le due soluzioni trovate:

[math]x_1=+\frac{1}{2}\\va\ scartata\ perché:\\h=5x-4=5\frac{1}{2}-4=\frac{5}{2}-4=\frac{5-8}{2}=-\frac{3}{2}[/math]

.
.
e la misura di un lato NON può essere NEGATIVA.
.
Invece con

[math]x_2=+2[/math]

,
troviamo:
Base = 8x = 8(2) = 16
Lato = 5x = 5(2) = 10
altezza = 5x - 4 = 5(2) - 4 = 10 - 4 = 6
Fammi sapere se è chiaro.

Aggiunto 1 ora 55 minuti più tardi:

Se ti domandi perché una delle due soluzioni NON va bene per la risoluzione del problema, ciò deriva dal fatto che in realtà l'equazione risolvente sarebbe questa:

[math]5x=\sqrt{16x^2+(5x-4)^2}[/math]

.
.
Elevando al quadrato entrambi i membri si trova quella che ho scritto nella risposta precedente.
Quindi "alzando" il grado di una equazione si rischia di introdurre soluzioni "nuove", cosa che è accaduto in questo caso.
Ecco il motivo per cui è OBBLIGATORIO verificare le soluzioni trovate

[gemmaartistica]

Non capisco posso risolvere il problema se non ho fatto le equazioni di secondo grado? G

[carlogiannini]

Proviamo con la Formula di Erone per calcolare l'Area usando i tre lati e confrontarla con la formula classica
Area = Base per altezza diviso due.
La formula di Erone utilizza il semi-perimetro "p":
.

[math]Area=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\[/math]

,
dove
.
p = metà perimetro
a = primo lato
b = secondo lato
c = terzo lato
.
Ovviamente non importa in che ordine si prendono i tre lati.
Allora vediamo:
come nella risposta precedente (vedi) chiamiamo:
.
a = 5x ( lato obliquo )
b = 5x ( lato obliquo )
c = 8x ( base del triangolo).
.
Il perimetro "2p" sarà dunque:
.
2p = a + b + c = 5x + 5x + 8x = 18x
.
Il semi-perimetro è la metà del perimetro, quindi:
.
p = 9x
.
Calcoliamo l'area con la formula di Erone:
.

[math]A=\sqrt{9x(9x-5x)(9x-5x)(9x-8x)}=\sqrt{9x\cdot 4x\cdot 4x\cdot x}=\\=\sqrt{144x^4}\ =\ 12x^2\\quindi:\\A\ =\ 12x^2[/math]

,
.
Ora calcoliamo la stessa Area nel modo classico, ricordando che l'altezza la calcoliamo come prima:
.
h = Lato - 4 cm = 5x -4
.

[math]A\ =\ \frac{B\cdot h}{2}\ =\ \frac{8x(5x-4)}{2}\ =\ 4x(5x-4)\ =\ 20x^2-16x[/math]

.
.
Confrontando queste due espressioni che indicano entrambe la stessa Area troviamo l'equazione:
.

[math]20x^2-16x=12x^2\\20x^2-16x-12x^2=0\\8x^2-16x=0\\semplifico\ tutto\ per\ "8"\\x^2-2x=0\\[/math]

.
.
Tu dirai: tanta fatica per trovare un'altra equazione di secondo grado?
Si, però questa equazione (essendo incompleta) si può risolvere SENZA la formula specifica che ho utilizzato nell'altra risposta.
Infatti basta raccogliere una "x" e troviamo:
.
x(x -2) = 0
.
Ora, sappiamo che
un prodotto fa ZERO se e solo se almeno uno dei fattori è ZERO (oppure entrambi).
Quindi ricaviamo che:
x = 0
oppure
x -2 = 0
da cui ricaviamo
x = 2 .
.
Anche qui dobbiamo scartare la soluzione
x = 0
e ci rimane (come prima) la soluzione
x = 2
.
Fammi sapere.......
Carlo