Problema di geometria razionale - Parallelogrammi
Buonasera a tutti...mi servirebbe una mano su questo problema...non riesco ad arrivare alla soluzione...grazie mille!!!
In un triangolo qualunque con AC > AB, sia E il punto medio del lato AB e D il punto medio del lato BC. Si tracci l'altezza AH relativa al lato BC. Si dimostri che DEH (angolo) = ABC (angolo) - ACB (angolo).
Io sono solo riuscito ad intuire che i triangolo DEB e ABC sono simili perchè hanno i lati tra loro proporzionali (perchè EB e DB sono rispettivamente la metà di AB e BC).
In un triangolo qualunque con AC > AB, sia E il punto medio del lato AB e D il punto medio del lato BC. Si tracci l'altezza AH relativa al lato BC. Si dimostri che DEH (angolo) = ABC (angolo) - ACB (angolo).
Io sono solo riuscito ad intuire che i triangolo DEB e ABC sono simili perchè hanno i lati tra loro proporzionali (perchè EB e DB sono rispettivamente la metà di AB e BC).
Risposte
Pongo per semplicità $A \hatBC=beta$ e $A \hatCB=gamma$: la tesi è $D \hatEH=beta-gamma$.
Il triangolo AHB è rettangolo, quindi la sua mediana HE è la metà dell'ipotenusa AB; ne segue che il triangolo HEB è isoscele su base HB, quindi $E \hatHB=beta$.
Per il teorema dell'angolo esterno, $E \hatHB=D \hatEH+E \hatDH$, ma $E \hatDH=gamma$ perché corrispondenti in retta parallele, quindi $beta=D \hatEH+gamma$ e ne segue la tesi.
Il triangolo AHB è rettangolo, quindi la sua mediana HE è la metà dell'ipotenusa AB; ne segue che il triangolo HEB è isoscele su base HB, quindi $E \hatHB=beta$.
Per il teorema dell'angolo esterno, $E \hatHB=D \hatEH+E \hatDH$, ma $E \hatDH=gamma$ perché corrispondenti in retta parallele, quindi $beta=D \hatEH+gamma$ e ne segue la tesi.
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