Problema di geometria piana da dimostrare.

[Marco241]

Salve!

C'è un problema che non riesco a dimostrare:

Sia ABC un triangolo qualunque e AM la semiretta bisettrice dell'angolo di vertice A ; si prendano su questa bisettrice i segmenti

$ AE = AB $

$ AF = AC $

.Dimostrare che i segmenti BF e CE sono congruenti.

SVOLGIMENTO:


Poichè AM è bisettrice dell' angolo in A divide in parti congruenti anche gli angoli:

$ hat(BEC) $

$ hat(BFC) $

allora se ho ben capito i punti E ed F non possono essere interni al triangolo ABC.Spero di aver capito la figura.

POI...

Considerò i triangoli

$ ABE $
$ AEC $

Questi triangoli sono congruenti perchè hanno un lato e due angoli rispettivamente congruenti

$ AE in comune $
$ hat(BAE)=hat(EAC) $
$ hat(BEA)=hat(AEC) $

Considero poi i triangoli:

$ BAF e AFC $

essi hanno:

$ AF in comune $

$ hat(BAF)=hat(FAC) $

$ hat(BFA)=hat(AFC) $

Da queste congruenze deduco:

$ AB = AC $

$ BE = EC $

$ hat(ABC)=hat(ACB) $

$ hat(EBC)=hat(BCE) $

$ BF=FC $

$ hat(CBF)=hat(BCF) $

Adesso mi manca qualche elemento per dimostrare la congruenza dei triangoli BAF ed EAC.Il libro suggerisce di considerare questi triangoli...

[@melia]

Se consideri, invece, semplicemente
i triangoli $ABF$ e $ACE$ essi hanno
$AB~=AE$ per ipotesi
$AF~=AC$ per ipotesi
$hat(BAE)~=hat(FAC)$ per definizione di bisettrice
i due triangoli sono congruenti per il primo criterio e hanno congruenti anche gli altri lati, perciò $BF~=CE$

[Marco241]

scusa ma come ti viene la figura?

il triangolo $ ABF $

è più grande di:

$ EAC $

fammi capire.Mi sa che ho sbagliato la figura

[Marco241]

Madonna che svista che ho fatto! Cribbio!!

No scusa è tutto chiaro