Problema di geometria piana

[gcappellotto]

Salve a tutti

Sono in difficoltà con il seguente problema:
Il lato di un triangolo equilatero ABC misura 2a.
Si conduca da A la perpendicolare al lato CB che lo interseca in D.
Trovare sul lato AC un punto P tale che la somma dei quadrati delle
misure delle sue distanze da B e dalla retta AD sia (96/25)a^2

Ho provato come segue:
Ho indicato con x il segmento PS perpendicolare a BD
Ci sono due triangoli simili: PSH e HDB
Posso scrivere (x^2)+(y+ky)^2=(96/25)a^2 dove k è il rapporto di similitudine k=a/x
Ma a questo punto ma manca una terza equazione, ma non riesco a "vederla" ??? Come posso procedere?

Grazie e saluti Giovanni

[codino75]

mi sembra manchi una relazione tra x ed y che puoi ricavare sapendo che il triangolo originario (quello grande di lato 2a) e' equilatero.
infatti, questa informazione sembra non sia presente nelle relazioni da te scritte.

[Bruno13]

Ciao, Giovanni

Ho solo qualche minuto, quindi
non ti riporto i calcoli risolutivi.
Penso, comunque, che tu riesca
a comporli senza problemi.

Spero di aver capito bene il
problema: devi trovare sul lato
AC del triangolo equilatero un
punto P le cui distanze dal vertice
B e dall'altezza AD, elevate al
quadrato, diano come somma
(96/25)a².
Se è così, anche seguendo la tua
idea, potresti fare queste semplici
osservazioni:

- il triangolo è equilatero, perciò
la distanza di P dall'altezza AD
è la metà della distanza di P
stesso dal vertice A;

- il triangolo rettangolo con ipotenusa
PC (che condivide con il triangolo
equilatero l'angolo in C ed è perciò
simile alla sua metà ADC) ha i cateti
che sono facilmente determinabili:
uno è la metà di PC e l'altro è...

Per tale via riesci subito a trovare
il quadrato di BP che, assieme a
quello della distanza di P da AD,
ti permette di scrivere un'equazione
in una sola incognita, cioè AP.

Questo, naturalmente, è solo un
metodo, il primo che mi è venuto
in mente seguendo il tuo input.