Problema di geometria e algebra!
Ciao a tutti! Potreste spiegarmi come risolvere questo problema con un'equazione di secondo grado?
Ecco la traccia: "E' dato un triangolo ABC rettangolo in A. La mediana CM relativa al cateto AB forma con il lato stesso l'angolo CMA=30°. Sapendo che l'area del triangolo CMB misura 8 radical 3 cm^2, calcola il perimetro del triangolo ABC."
Grazie mille in anticipo :*
Ecco la traccia: "E' dato un triangolo ABC rettangolo in A. La mediana CM relativa al cateto AB forma con il lato stesso l'angolo CMA=30°. Sapendo che l'area del triangolo CMB misura 8 radical 3 cm^2, calcola il perimetro del triangolo ABC."
Grazie mille in anticipo :*
Risposte
allora l'angolo in A è 90°
quello in M è 30° quindi essendo la somma delgi angolo interni pari a 180 facendo una sottrazione ottieni che l angolo ACM è 60 °
ora sappiamo che A = rad3 / 8 x ipotenusa^2
conoscendo l area ci ricaviamo la misura dell ipotenusa CM
CM = radical 64 = 8
usando le formule dei triangoli rettangoli sappiamo che
Ac essendo opposto all angolo di 30° sarà AC = CM/2 =4
mentre AM opposto all angolo di 60° sarà AM = radical3 / 2 x CM = 4radial 3
AM è la metà del cateto AB quindi AB = 8radical 3
conoscendo i due cateti del triangolo ABC possiamo calcolare l ipotenusa CB
CB = radic ( AB^2 + CA^2) = 4 radical 13
ora hai tutto per calcolare l perimetro
Aggiunto 1 minuto più tardi:
AB + BC + CA = 4 + 8 radical 13 + 4 radical 13
raccogliendo 4 otterrai = 4 ( 1 + 2 radical 13 + radical 13)
quello in M è 30° quindi essendo la somma delgi angolo interni pari a 180 facendo una sottrazione ottieni che l angolo ACM è 60 °
ora sappiamo che A = rad3 / 8 x ipotenusa^2
conoscendo l area ci ricaviamo la misura dell ipotenusa CM
CM = radical 64 = 8
usando le formule dei triangoli rettangoli sappiamo che
Ac essendo opposto all angolo di 30° sarà AC = CM/2 =4
mentre AM opposto all angolo di 60° sarà AM = radical3 / 2 x CM = 4radial 3
AM è la metà del cateto AB quindi AB = 8radical 3
conoscendo i due cateti del triangolo ABC possiamo calcolare l ipotenusa CB
CB = radic ( AB^2 + CA^2) = 4 radical 13
ora hai tutto per calcolare l perimetro
Aggiunto 1 minuto più tardi:
AB + BC + CA = 4 + 8 radical 13 + 4 radical 13
raccogliendo 4 otterrai = 4 ( 1 + 2 radical 13 + radical 13)
Chiedo scusa a sgaffo ma vorrei proporre un altro modo di risoluzione.
Il triangolo ACM è metà triangolo equilatero (un angolo retto e uno di 30 gradi.......) quindi AM è l'altezza. L'altezza di un triangolo equilatero si trova:
da cui ricaviamo:
AC è metà lato del triangolo equilatero, quindi
Chiamiamo AM = x
quindi:
Sfruttando l'Area del triangolo CMB scriviamo l'equazione:
da cui troviamo
Il resto è facile
Il triangolo ACM è metà triangolo equilatero (un angolo retto e uno di 30 gradi.......) quindi AM è l'altezza. L'altezza di un triangolo equilatero si trova:
[math]h=\frac{l}{2}\sqrt{3}[/math]
,da cui ricaviamo:
[math]l=\frac{2l\sqrt{3}}{3}[/math]
.AC è metà lato del triangolo equilatero, quindi
[math]AC=\frac{l\sqrt{3}}{3}[/math]
.Chiamiamo AM = x
quindi:
[math]x=\frac{l}{2}\sqrt{3}[/math]
,[math]l=\frac{2x\sqrt{3}}{3}[/math]
,[math]AC=\frac{x\sqrt{3}}{3}[/math]
.Sfruttando l'Area del triangolo CMB scriviamo l'equazione:
[math]\frac{l}{2}(\frac{x\sqrt{3}}{3})x=8\sqrt{3}[/math]
,da cui troviamo
[math]\frac{x^2\sqrt{3}}{6}=8\sqrt{3}[/math]
,[math]x^2=48[/math]
,[math]x=4\sqrt3[/math]
,Il resto è facile
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