Problema di geometria (disuguaglianze triangolari)

[alfredo14]

Non riesco a capire se sbaglio io o se c'è un errore nel testo (più probabile la prima ).

Mi si chiede di dimostrare che in un triangolo acutangolo la somma delle tre altezze è minore del perimetro (p) e maggiore del semiperimetro.

Io ho ragionato così. Indicato con ABC il triangolo e con H, M e N i piedi delle tre altezze rispettivamente sulle basi AC, AB e BC, scrivo:

$BH $BH
sommando membro a membro ottengo:

$2BH
ma:

$AC=AH+HC$

e quindi:

$2BH
ovvero:

$2BH
In conclusione l'altezza BH è minore del semiperimetro. Ripetendo lo stesso ragionamento per le altre due altezze e sommando le tre diseguaglianze trovate otteniamo:

$BH+CM+AN<3/2p$

Dove sbaglio?

Grazie.

[@melia]

"alfredo":$BH+CM+AN<3/2p$ Dove sbaglio?

secondo me non sbagli $BH+CM+AN<3/2p<2p$
Adesso bisogna dimostrare la seconda parte della disuguaglianza
$BH>CB-CH$ e
$BH>AB-AH$ che diventano $2BH>AB+CB-AC$, allo stesso modo ricavi che $2CM>AC+CB-AB$ e $2AN>AB+AC-BC$, sommando il tutto ottieni $2(BH+CM+AN)>2p$ cioè $BH+CM+AN>p$ cvd

[alfredo14]

Ma così abbiamo dimostrato che la somma delle tre altezze è minore di tre semiperimetri e maggiore del perimetro. Mentre le tesi proposte chiedevano di dimostrare che la somma delle tre altezze è minore del perimetro (p) e maggiore del semiperimetro.
Non credo sia la stessa cosa. Come se ne esce? Le tesi richieste non sono vere, oppure ...

[Gatto891]

"alfredo":Ma così abbiamo dimostrato che la somma delle tre altezze è minore di tre semiperimetri e maggiore del perimetro. Mentre le tesi proposte chiedevano di dimostrare che la somma delle tre altezze è minore del perimetro (p) e maggiore del semiperimetro.

Con $p$ in genere si intende il semiperimetro, penso sia qui l'equivoco.

[alfredo14]

Ok, verifico la simbologia in accordo al suggerimento indicato.
Buona giornata e grazie.