Problema di geometria di primo grado. (82671)

[Antonio_Esposito95]

Nel triangolo rettangolo ABC il cateto BC misura 20a e la circonferenza di centro A e raggio AB interseca l'ipotenusa AC nel punto D distante 8a da C. Provare che BC è tangente alla circonferenza e determinare la misura del cateto AB [21a]

[Ali Q]

Soluzione:

Dimostrare che BC è tangente alla circonferenza è quasi automatico: la circonferenza ha centro in A e raggio AB. Dunque, essa dovrà per forza toccare il lato BC nel punto B.
Poichè BC è un segmento appartenete ad una retta perpendicolare ad uno dei suoi raggi (AB) e passante per un punto ad esso estremo (B), BC sarà di conseguenza tangente (e non secante) alla circonferenza.

Tracciata la circonferenza di raggio AB, ci accorgiamo che:

[math]AC = AD + DC = AB + 8a.[/math]

Applico adesso il teorema di Pitagora sul traingolo ABC.

[math]BC^2 = AC^2 -AB^2[/math]

[math](20a)^2 = (AB+8a)^2 -AB^2[/math]

[math]400a^2 = AB^2 + 64a^2 +16a AB - AB^2[/math]

[math]400a^2 = 64a^2 +16a AB[/math]

[math](400 -64)a^2 = +16a AB[/math]

[math]AB = 336a^2/16a = 21 a[/math]

Ciao!