Problema di geometria con massimi e minimi [vedi pag. 2]

[^Tipper^1]

Sulla semicirconferenza di diametro AB=2r, traccia la corda AC. Indica con P il suo punto medio e con K la proiezione ortogonale di P su AB. Determina l'angolo BAC in modo che sia massimo il segmento PK.

Ho messo l'angolo BAC con x, poi mi sono calcolato i lati (compreso PK): a quel punto cosa devo fare?
Grazie

[@melia]

A questo punto PK è una funzione di x, come si trova il massimo di una funzione in un intervallo chiuso e limitato?

[^Tipper^1]

PK mi torna $Rsinx$. Ne ho fatto la derivata, l'ho uguagliata a zero, ho trovato gli azzeramenti ed ho fatto il segno. Solo che io lavoro per $0

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[@melia]

"Mirino06":Solo che io lavoro per $0
Ma nulla ti vieta di lavorare per $0<=x<=90$ e di tener conto dei casi degeneri. Quindi anche se lavori in un aperto, potresti benissimo lavorare nell'intervallo chiuso.

[^Tipper^1]

Azzerando la derivata trovo gli azzeramenti $pi/2$ e $3pi/2$ . È accettato $pi/2$ . Ma la soluzione del libro dice: "se $B\hat AC=x$ , si ha il massimo per $x=pi/4$

[igiul1]

"Mirino06":Azzerando la derivata trovo gli azzeramenti $pi/2$ e $3pi/2$ . È accettato $pi/2$ . Ma la soluzione del libro dice: "se $B\hat AC=x$ , si ha il massimo per $x=pi/4$

prova a ricalcolare PK

[@melia]

Come ha detto igiul devi ricalcolare PK, a me infatti viene $bar(PK) = r *sin x* cos x$

[^Tipper^1]

Grazie, adesso mi torna.

[^Tipper^1]

Ciao, ci sarebbe un altro problema che mi desta qualche dubbio.
Anzitutto, il testo è questo: in una semicirconferenza di diametro AB=2r, conduci una corda AD e sia C il punto medio del'arco BD. Determina l'angolo BAC in modo che l'area del quadrilatero ABCD risulti massima.

Dunque, il risultato del libro dice: posto $B\hat AC=x$, $x=\pi/6$

A me torna alla fine $senx=sqrt3/3$

Ipotizzando che, affinché torni $x=\pi/6$ (come dice il libro), debba venire per esempio $senx=1/2$ ; visto che $1/2$ è 0,50 e visto che a me torna $sqrt3/3$, cioè 0,57, può darsi che il libro abbia approssimato?

[@melia]

Non ci sono errori né approssimazioni nel libro, o hai sbagliato un calcolo oppure stai usando l'angolo BAD che è il doppio di BAC.

[^Tipper^1]

Questi sono i calcoli che ho fatto:

L'angolo $B\hat AC=x$
$AC=2rcosx$
$BC=2rsenx$
$CH=2rsenxcosx$
$HB=2rsen^2x$
$DC=2rsenx$
$AD=2rcos2x$

Area $ABC=2r^2senxcosx$
Area $ACD=2r^2senxcosxcos2x$

$y=2r^2senxcosx+2r^2senxcosxcos2x$
$y'=2r^2[cos^2x*(1+cos2x)-sen^2x*(1+cos2x)-2sen2xsenxcosx]$

Trasformo il $cos2x$ in $cos^2x-sen^2x$

Alla fine mi viene $2cos^2x-6sen^2xcos^2x=0$

Dov'è che sbaglio?

[@melia]

La funzione è giusta, un attimo che mi ricalcolo la derivata perché per facilitarmi i calcoli avevo trasformato tutto in funzione di $2x$.

Viene $2cos^4x-6sen^2xcos^2x=0$ il coseno è elevato alla quarta e non alla seconda

[^Tipper^1]

Scusa, ho provato a ricontrollare ma non riesco a capire dove sbaglio.

$y'=cos^2x+cos^2xcos2x-sen^2x-sen^2xcos2x-2sen2xsenxcosx$

$y'=cos^2x+cos^2x(cos^2x-sen^2x)-sen^2x-sen^2x(cos^2x-sen^2x)-4senxcosx(senxcosx)$

$y'=cos^2x+cos^4x-sen^2xcos^2x-sen^2x-sen^2xcos^2x+sen^4x-4sen^2xcos^2x$

$cos^4x+sen^4x$ l'ho sosituito con $1$

e quindi mi viene

$y'=1+cos^2x-6sen^2xcos^2x-sen^2x$

$y'=1+cos^2x-6sen^2xcos^2x-1+cos^2x$

[@melia]

Non va
$cos^4x+sin^4x=(cos^2x+sin^2x)^2-2sin^2xcos^2x=1-2sin^2xcos^2x$

[giammaria2]

Suggerisco di cominciare semplificando l'espressione di y:
$y=2r^2senxcosx+2r^2senxcosxcos2x$ $=2r^2senxcosx(1+cos2x)$ $=2r^2senxcosx*2cos^2x$ $=4r^2 senx cos^3x$
Non è necessario, e le osservazioni di @melia continuano a valere, ma i calcoli successivi risultano molto più facili.

[@melia]

Io avevo usato la semplificazione
$y=2r^2sinxcosx+2r^2sinxcosxcos2x=r^2sin2x(1+cos2x)$
Entrambe mi sembrano migliori della forma usata da Mirino06

[^Tipper^1]

Grazie mille, adesso ho capito.

[^Tipper^1]

Ciao, avrei altri dubbi su altri problemi.

Tra tutti triangoli iscosceli inscritti in una circonferenza di raggio $r$., determina quello per cui è massima la somma della base e della sua altezza relativa.

Dunque, ho messo la base $AB$. Poi ho posto $A\ hat OH=x$. $CH$ è l'altezza relativa alla base

$AH=rsenx, AB=2rsenx, OH=rcosx, CH=rcosx+r$ La funzione obiettivo mi viene $y=2rsenx+rcosx+r$
$y'=r(2cosx-senx)$
$y'=0$
$2-tgx=0$ A questo punto come vado avanti? Dovrei fare il segno e vedere quando $tgx<2$


L'altro problema invece è: sia dato un triangolo rettangolo $ABC$ inscritto in una semicirconferenza di diametro $a$ e sia detta $AH$ l'altezza relativa all'ipotenusa. Sia poi $M$ il punto medio di $AH$ e sia $Q$ l'intersezione tra la retta $AC$ e la retta passante per $M$ e parallela a $BC$. Determina $H$ tale che l'area del trapezio $MBCQ$ sia massima.

Il vertice sinistro del triangolo l'ho indicato con $B$. Ho posto $B\ hat CA=x$
$AC=acosx, AB=asenx, AH=asenxcosx, HC=acos^2x, MH=(asenxcosx)/2 , AM=(asenxcosx)/2$ . Dato che i triangoli $AHC$ e $AMQ$ sono simili ho fatto la proporzione $HC:MQ=AH:AM$
$MQ=(acos^2x)/2$. Area $BMCQ= 1/8a^2(2senxcosx+senxcos^3x)$. Quinid la derivata che devo uguagliare a zero è $cos^4x+4cos^2x-3sen^2xcos^2x-2$ Come la risolvo?

Grazie, ciao