Problema di geometria con equazione di secondo grado (40185)

[Cesareinside]

Ciao a tutti, non riesco a fare questo problema:
In un triangolo equilatero ABC di lato "a" prendi un punto p internamente al lato AB e siano H e K le proiezioni di p su BC e CA. Quale deve essere la lunghezza di AP in modo che l'area del triangolo PHK sia un sesto di quella di ABC.
Ho provato a farlo e a mettere l'incognita, ma non riesco a trovare l'area di PHK per fare l'equazione di secondo grado, come posso fare?
In allegato vi metto il mio disegno. Grazie in anticipo.

[BIT5]

L'unica idea che mi e' venuta (ma che non mi convince granche') e' stata quella di trovare l'Area di PHK come differenza tra l'area di ABC tolte le aree di APK (

[math] \frac{x^2 \sqrt 3}{4} [/math]

) quella di PBH (

[math] \frac{(a-x)^2 \sqrt3}{4} [/math]

) e quella di CKH.

L'area di CHK la ricavi tracciando un'altezza (ad esempio relativa a CH) e notando che il triangolo CKN (dove N e' il piede dell'altezza) e' di nuovo un triangolo 30-60-90 e pertanto l'altezza sara'

[math] (a- \frac{x}{2}) \sqrt3 [/math]

e dunque l'area di CKN

[math] \frac{(2a^2-3ax+x^2) \sqrt3}{8} [/math]

Anche se mi sembra un po' laborioso.

Ma per ora non ho trovato alternative.

Comunque ci penso ancora un po'..

Aggiunto 1 minuti più tardi:

(Mi dispiace perche' e' un piacere aiutare chi dimostra di averci provato.. spero di riuscire a darti una risposta piu' esaustiva :D )

[Cesareinside]

grazie mille bit! Oggi provo a farlo e ti dico