Problema di geometria analitica sull`equazione dell'ellisse

[thomas2507]

Determina l`equazione dell`ellisse con i fuochi sull`asse y, di eccentricita` e=(sqrt(3)/3), sapendo che passa per (1; -sqrt(3)). Mi potete aiutare? Non riesco a risolverlo

[anna.supermath]

Ciao, ti scrivo la soluzione.
L’equazione dell’ellisse è:
(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
dove b > a poiché i fuochi sono sull’asse y.
Si ha che:
e = c/b
(b)^2 = (a)^2 + (c)^2
ossia
(c)^2 = (b)^2 - (a)^2.
Sappiamo che
e = (sqrt(3))/3
e che l’ellisse passa per il punto P = (1; -sqrt(3))
Quindi
c/b = (sqrt(3))/3
(1/((a)^2)) + (3/((b)^2)) = 1

c = ((sqrt(3))/3)b
elevando questa quantità alla seconda
(c)^2 = (1/3)(b)^2
essendo
(c)^2 = (b)^2 - (a)^2.
si sostituisce e si ottiene
(1/3)(b)^2 = (b)^2 - (a)^2.
da cui
(b)^2 = (3/2) (a)^2
questo valore di (b)^2 lo si sostituisce in
1/((a)^2)) + (3/((b)^2)) = 1
da cui
1/((a)^2)) + (2/((a)^2)) = 1
(a)^2 = 3
(b)^2 = 9/2
Si può scrivere l’equazione dell’ellisse:

((x)^2)/3 + ((y)^2)/(9/2) = 1