Problema di geometria analitica riguardante la parabola

[rofellone]

Salve a tutti mi sono imbattuto nel seguente problema: date le parabole di equazione y=-1/2x^2+2x e la parabola di equazione y=x^2-6x+8 scrivere le equazioni delle rette tangenti ad entrambe le parabole. Io ho ragionato così: ho scritto y=mx+q che è l'equazione di una generica retta e l'ho messa a sistema con le due parabole mettendo delta=0 e risolvendo il sistema. Mi veniva dopo aver posto delta=0 sistema tra 8q-16+16m-4m^2=0 e m^2+12m+4+4q=0. Poi ottenendo dalla prima che q=(4m^2-16m+16)/8 e sostituendo alla seconda ottengo: 6m^2+8m+24=0 però come vedete mè introvabile perchè le soluzioni sono immaginarie. Come mai viene questo risultato?
Un altro problema diceva (le parabole sono sempre le medesime):condurre una parallela all'asse x che incontri l'arco AB di p1 in M e l'arco AB di p2 in N in modo che sia MN=3/2. Precedentemente in un altro punto si diceva che A e B erano i punti di intersezione tra le due parabole. Qui ho pensato di scrivere y=k ed intersecarla con una delle due parabole visto che l'arco è in comune e poi porre la distanza in modulo visto che hanno stessa ordinata uguale a 3/2. Sto procedendo bene?

[rofellone]

Benny grazie mille! non ho capito però il tuo metodo per risolvere il secondo problema. Puoi rispiegarmi come hai fatto?

[Benny24]

Scusami, avevo cancellato il post perchè i conti con il metodo che ti avevo suggerito non tornavano e non volevo sviarti. Ti dico solo che, osservando il grafico, trovi che N, punto di p2 (y=x^2-6x...), ha coordinate (x, k), mentre M, punto di p1, ha coordinate (x+3/2, k). Credo si possa trovare una soluzione agevle da questo fatto, anche se finora i calcoli non mi hanno dato ragione. Se risolvo qualcosa scrivo.

[rofellone]

I calcoli mi sembrano tutt'altro che agevoli comunque se scopri qualcosa non esitare a farmi sapere. Intanto grazie ancora per la collaborazione.

[adaBTTLS1]

per quanto riguarda il primo problema, in base al disegno è verosimile che non abbia soluzioni, anche perché ad esempio una retta che sia tangente alla prima parabola in un punto di ascissa <4/3 deve avere necessariamente coefficiente angolare positivo e sicuramente è secante rispetto alla seconda parabola (non sarà un discorso rigorosissimo, ma spero renda l'idea). analogamente per un punto di tangenza di ascissa >4.

per il secondo problema, io credo che il testo intenda parlare dei due distinti archi AB, uno della prima parabola uno della seconda, ciascuno dei quali dovrebbe avere un'unica intersezione con la retta y=k, pertanto k dovrebbe essere compreso tra 0 e 16/9 (ordinate dei punti A e B).

spero di essere stata utile. ciao.

[rofellone]

Ada grazie per la risposta però continuo ad avere difficoltà nell'interpretare questo problema. Io ho due parabole che si intersecano in due punti A e B e devo trovare la retta che incontra l'arco AB in M e N tale che MN sia uguale a 3/2. Ora non riesco ad impostare un'equazione per far si che MN=3/2.

[rofellone]

Un altro problema dice: Scritta l'equazione della retta passante per D(0,k) e parallela alla bisettrice del 2 e 4 quadrante determinare per quale valore di k tale retta incontra entrambe le parabole. La retta parallela ecc. ha equazione y=-x+k. Ora io incontra entrambe le parabole l'ho interpretato per è secante altrimenti credo ci sarebbe stato "tocca" e quindi ho messo a sistema questa retta che ho appena trovato con le due parabole e mettendo tutto a sistema dopo aver posto delta maggiore di zero. Alla fine ottengo -8k>-36 a sistema con 4k>4 e risolvendo il sistema mi viene 7/4

Cita

Segnala

[adaBTTLS1]

ritorno al vecchio problema.
mi ero impelagata in una marea di conti, avendo anche scritto 2/3 al posto di 3/2.
i calcoli non te li posto, anche perché non sono sicuri, ma ho qualche dubbio che anche questo problema abbia soluzione.
ti spiego il mio ragionamento.
avendo trovato $A(4/3,16/9)$ e $B(4,0)$, con l'interpretazione di M ed N che ti ho scritto in precedenza, pongo $0<=k<=16/9$ e metto a sistema la retta $y=k$ con le due parabole, ottenendo

$x^2-6x+8-k=0$ e $-1/2x^2+2x-k=0$ dove cerchiamo soluzioni $x in [4/3,4]$

vanno trovate le soluzioni in funzione di k, discusse, ed infine si pone la differenza tra la soluzione accettabile della prima e la soluzione accettabile della seconda uguale a 3/2.

avendo ricorretto recentemente 2/3 con 3/2, senza rivedere i conti precedenti, avevo ottenuto un'equazione di secondo grado in k che però aveva delta negativo. te la scrivo solo per un eventuale confronto, ma non è affidabile: $18k^2+13k+585/8=0$

EDIT: ho rivisto i conti ed ho ottenuto un'equazione un po' diversa che porta ad una soluzione accettabile: $18k^2-11/2k-231/16=0$
da cui $k=(11+10sqrt(22))/36$. per i passaggi ti mando un altro post.


l'ultimo non ho avuto il coraggio di vederlo... a domani! ciao.

[adaBTTLS1]

per l'ultimo io non limiterei al caso "secanti", ma se consideri delta >=0 anziché solo >0 trovi gli stessi valori con le disuguaglianze in senso lato: $7/4<=k<=9/2$, anche se non mi spiego 4x>4 (doveva essere 4x>7), penso sia un errore di digitazione.
quando ho un po' di tempo ricontrollo i calcoli del secondo esercizio. ciao.

[rofellone]

Ada grazie per la risposta. Si nel terzo problema mi ero sbagliato a digitare infatti ho scritto 4 al posto di 7. Al secondo problema mi rimangono un poco di dubbi. Tu giustamente dici che k deve essere compreso tra 0 e 16/9 che sono le ordinate dei punti di intersezione. Quando però interseco y=k con le due parabole mi trovo per ogni parabola due punti mentre il testo mi parla di un M e di un N. Tu dici che bisogna fare la discussione ma non è ben chiaro come fare questa discussione, anche perchè quando ho trovato le soluzioni accettabili ad esempio k<1 e k>1 poi come faccio la differenza tra due disequazioni? Scusami ma su questo problema continuo ad avere dei dubbi. Quando hai tempo vorrei sapere come affrontavi la discussione. Intanto ti saluto e ti ringrazio. ciao

[Benny24]

"rofellone":condurre una parallela all'asse x che incontri l'arco AB di p1 in M e l'arco AB di p2 in N in modo che sia MN=3/2. Precedentemente in un altro punto si diceva che A e B erano i punti di intersezione tra le due parabole.

Non mi sembra un problema l'interpretazione: bisogna trovare una retta y=k che intersechi entrambe le parabole all'interno dei rispettivi archi AB. Ovviamente la ricerca si stringe negli intervalli di ascissa e ordinata determinati dai 2 archi. A me risulta più che altro oscura la via per trovare la soluzione (p.s. rofellone, ce l'hai sul libro?)

[adaBTTLS1]

"adaBTTLS":ritorno al vecchio problema.
avendo trovato $A(4/3,16/9)$ e $B(4,0)$, con l'interpretazione di M ed N che ti ho scritto in precedenza, pongo $0<=k<=16/9$ e metto a sistema la retta $y=k$ con le due parabole, ottenendo

$x^2-6x+8-k=0$ e $-1/2x^2+2x-k=0$ dove cerchiamo soluzioni $x in [4/3,4]$

vanno trovate le soluzioni in funzione di k, discusse, ed infine si pone la differenza tra la soluzione accettabile della prima e la soluzione accettabile della seconda uguale a 3/2.

se $0<=k<=16/9$, la retta y=k incontra prima la parabola convessa in un punto dell'arco AB di essa, poi (per un valore di ascissa maggiore) incontra la parabola concava in un punto dell'arco AB appartenente ad essa. dobbiamo imporre che la differenza tra le ascisse di questi due punti sia 3/2.
mettendo a sistema la retta e la parabola convessa si ottiene la prima equazione che ti ho scritto su: $x^2-6x+8-k=0$ che ha soluzioni $x=3+-sqrt(1+k)$.
solo se k=0 le due soluzioni sono accettabili (x=2 , x=4), altrimenti, con k>0, solo quella con il segno "-" è accettabile.
mettendo a sistema la retta e la parabola concava si ottiene la seconda equazione che ti ho scritto su: $-1/2x^2+2x-k=0$ che ha soluzioni $x=2+-sqrt(4-2k)$. se k=0 le due soluzioni sono accettabili (x=0 , x=4), ma anche con k>0 non possiamo per ora escluderne alcuna.

comunque, confrontando le "quattro" soluzioni nel caso di k=0, si possono ottenere valori della lunghezza del segmento pari a 0,2,4, tutti diversi da 3/2.
quindi poniamo senza indugio k>0 e proseguiamo.

$[2+-sqrt(4-2k)]-[3-sqrt(1+k)]=3/2$, tenendo conto delle osservazioni precedenti, anche geometriche.

$sqrt(1+k)+-sqrt(4-2k)=3/2+3-2$ -> $sqrt(1+k)+-sqrt(4-2k)=5/2$. elevando al quadrato:

$1+k+4-2k+-2sqrt(4+2k-2k^2)=25/4$ -> $-k-5/4=-+2sqrt(-2k^2+2k+4)$.

dallo studio del segno si ha che ora si può considerare solo "-" al secondo membro, che corrisponde alla vecchia soluzione con il "+": $x=2+sqrt(4-2k)$.
ora cambio segno ed elevo di nuovo al quadrato:
$(k+5/4)^2=(2sqrt(-2k^2+2k+4))^2$

$k^2+25/16+5/2k=-8k^2+8k+16$ ... -> $18k^2-11k-231/8=0$

da cui $k=(11+-sqrt(2200))/36$
con il + il valore di k è circa 1.6, con il - il valore di k è circa -1.
dunque la prima soluzione $k=(11+10sqrt(22))/36$ è accettabile perché compresa tra 0 e 16/9.

spero di non aver commesso errori e di aver chiarito i vari dubbi. ciao.

[rofellone]

Adesso finalmente ho capito. Vi ringrazio per la disponibilità mostrata per la risoluzione di questo problema. Ciao e a presto!

[adaBTTLS1]

prego!

[rofellone]

Ciao Ada! scusa se riapro l'argomento ma ho rifatto i calcoli e qualcosa non torna. Precisamente 0

Cita

Segnala

[adaBTTLS1]

come può essere delta negativo se "a" e "c" sono discordi? viene $Delta=140800$, anche se io ho fatto calcoli un po' più semplici, con qualche formula ridotta...

[rofellone]

Oddio nel moltiplicare non avevo visto che c era negativo ! scusa e grazie ancora per la tua disponibilità!

[adaBTTLS1]

di nulla!