Problema di geometria analitica_--->parabola

[indovina]

testo
Scrivere l'equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all'asse y, che è tangente alla retta di equazione y=x-1 nel suo punto di ordinata nel suo punto di ordinata 1 e che passa per (0;4).

Ho fatto:
ho messo a sistema e mi sono trovata che c=4, b= (-3-ax^2)\x e x=2 ma come faccio a trovarmi a e b?

[minimo]

dunque se l'asse di simmetria è // all'asse y allora ha la forma y=ax^2+bx+c

passa per (0,4) ---- è una condizione => 0=16a+4b+c

è tg nel punto di ordinata 1 alla retta y=x-1 ---- sono 2 condizioni

metti l'ordinata nell'equazione della retta e ti trovi l'altra coordinata => 1=x-1 ne segue che x=2
abbiamo trovato che la tg-nza è nel punto di coordinate (2,1) in questo punto interseca la retta y=x-1 due volte nello stesso punto.
Prima di mettere a sistema facciamo un'ulteriore considerazione banale: la parabola passa per il punto (2,1) ciò si traduce in:

1=4a+2b+c

poi imponiamo la tg-nza --- quando una curva è tg ad una retta in un punto P allora P appartiene all'intersezione della retta e della curva ma anche alla derivata di questa intersezione

x-1=ax^2+bx+c => 0=ax^2+(b-1)x+c+1 => derivo => 0=2ax+b => piazzandoci il punto (2,1) => 0=4a+b

in definitiva hai il sistema di 3 equazioni in tre incognite

0=16a+4b+c
1=4a+2b+c
0=4a+b

ti ricavi 4a dall'ultima e la piazzi nella seconda ... etc