Problema di geometria analitica con discussione- Terzo liceo scientifico
Ragazzi,lo so, è il 6 di giugno,dovrei andare in spiaggia ma... il mio prof di matematica mi ha messo alla prova per vedere se mettermi l'8 in pagella,l'unico 8 di tutta la classe..
così mi ha dato da fare l'esercizio 21,che potete vedere nell'immagine in allegato.
Ho trovato la circonferenza e anche la parabola, ma devo determinarmi questa benedettissima k, che sarebbe la somma della lunghezza di una corda parallela all'asse x e la distanza del vertice della parabola [già trovato V(2;3)] dalla corda.
Con un compagno abbiamo pensato di mettere a sistema l'equazione della retta di cui fa parte la corda (y=t) e l'equazione della circonferenza, ottenendo le coordinate degli estremi della corda,seppur ancora col parametro t indicato.
Successivamente per trovare la distanza di V dalla corda, ho utilizzato la formula della distanza punto retta, ottenendo che questa distanza è uguale a I 3-t I .
Poi ho eguagliato la somma della distanza dei due estremi della corda e la distanza di V con la corda a k.
Solo che mi sono bloccata qui.
Vi prego,aiutate una povera ragazza alle prese con questa materia eccezionale!
I risultati sono nella foto in allegato,quelli in azzurro sotto il testo.
Risposte
Ciao,
Prendo per buone le equazioni della circonferenza e della parabola che ci sono sul libro senza ricavarmele per fare prima:
Innanzitutto considera una retta qualsiasi $y=t$ con $0<=t<=3$
Adesso, senza passare per inutili complicazioni, si può determinare la lunghezza di tale corda con semplici considerazioni geometriche: se $t>1$ allora la retta $y=t$ giace sopra il centro della circonferenza, detto $O$ il centro della circonferenza, $A$ e $B$ i punti di intersezione di $y=t$ con la circonferenza e $H$ l'intersezione tra $AB$ e $OV$ (dove $OV$ è il segmento che congiunge $O$ con il vertice $V$ della parabola), possiamo applicare il teorema di Pitagora al triangolo $AOH$ per trovare $AH$ e moltiplicare il tutto per $2$ per trovare $AB$:
$AH^2=AO^2-OH^2$
poichè $AO=r$ abbiamo:
$AH^2=r^2-OH^2$
ma $OH=t-1$ e dunque:
$AH^2=r^2-(t-1)^2$
Se invece avessimo $t<1$ si arriverebbe alla stesso risultato, poichè avremmo che $OH=1-t$ , ma $(1-t)^2=(t-1)^2$ e dunque la corda in generale vale : $AB=2sqrt(r^2-(t-1)^2)$
La distanza del vertice $V$ dalla corda è molto semplice, non c'è bisogno di formule di distanza punto retta, essendo la retta parrallela all'asse $x$, basta solo fare la differenza tra le ordinate, dunque $VH=3-t$
L'equazione cercata da risolvere è dunque:
$2sqrt(4-(t-1)^2)+3-t=k$
Ora sposti $3-t$ a destra ed elevi tutto al quadrato:
$4(4-(t-1)^2)=(k+t-3)^2$
Risolvendo tutti i quadrati dovrebbe uscirti un'equazione di secondo grado in $t$ le cui soluzioni dipendono dal parametro $k$, ora sapendo che le soluzioni di una equazione di secondo grado sono $x=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$ puoi fare delle considerazioni sul numero delle soluzioni al variare di $k$..dato che $a$,$b$ e $c$ nell'equzione dipendono da $k$.
Per fare un esempio...avremo una sola soluzione se $b^2-4ac=0$...avremo 2 soluzioni se $-b-sqrt(b^2-4ac)>0$...una sola soluzione se $-b-sqrt(b^2-4ac)<0$ e contemporaneamente $-b+sqrt(b^2-4ac)>0 $..insomma è molto lungo..credo ci sia qualche altra via per risolverlo più facilmente ma per il momento non ne sono a conoscenza.
Prendo per buone le equazioni della circonferenza e della parabola che ci sono sul libro senza ricavarmele per fare prima:
Innanzitutto considera una retta qualsiasi $y=t$ con $0<=t<=3$
Adesso, senza passare per inutili complicazioni, si può determinare la lunghezza di tale corda con semplici considerazioni geometriche: se $t>1$ allora la retta $y=t$ giace sopra il centro della circonferenza, detto $O$ il centro della circonferenza, $A$ e $B$ i punti di intersezione di $y=t$ con la circonferenza e $H$ l'intersezione tra $AB$ e $OV$ (dove $OV$ è il segmento che congiunge $O$ con il vertice $V$ della parabola), possiamo applicare il teorema di Pitagora al triangolo $AOH$ per trovare $AH$ e moltiplicare il tutto per $2$ per trovare $AB$:
$AH^2=AO^2-OH^2$
poichè $AO=r$ abbiamo:
$AH^2=r^2-OH^2$
ma $OH=t-1$ e dunque:
$AH^2=r^2-(t-1)^2$
Se invece avessimo $t<1$ si arriverebbe alla stesso risultato, poichè avremmo che $OH=1-t$ , ma $(1-t)^2=(t-1)^2$ e dunque la corda in generale vale : $AB=2sqrt(r^2-(t-1)^2)$
La distanza del vertice $V$ dalla corda è molto semplice, non c'è bisogno di formule di distanza punto retta, essendo la retta parrallela all'asse $x$, basta solo fare la differenza tra le ordinate, dunque $VH=3-t$
L'equazione cercata da risolvere è dunque:
$2sqrt(4-(t-1)^2)+3-t=k$
Ora sposti $3-t$ a destra ed elevi tutto al quadrato:
$4(4-(t-1)^2)=(k+t-3)^2$
Risolvendo tutti i quadrati dovrebbe uscirti un'equazione di secondo grado in $t$ le cui soluzioni dipendono dal parametro $k$, ora sapendo che le soluzioni di una equazione di secondo grado sono $x=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$ puoi fare delle considerazioni sul numero delle soluzioni al variare di $k$..dato che $a$,$b$ e $c$ nell'equzione dipendono da $k$.
Per fare un esempio...avremo una sola soluzione se $b^2-4ac=0$...avremo 2 soluzioni se $-b-sqrt(b^2-4ac)>0$...una sola soluzione se $-b-sqrt(b^2-4ac)<0$ e contemporaneamente $-b+sqrt(b^2-4ac)>0 $..insomma è molto lungo..credo ci sia qualche altra via per risolverlo più facilmente ma per il momento non ne sono a conoscenza.
Esaurientissimo\a!!! Grazie mille!!!!! 
Se ti interessa penso di aver trovato un metodo molto più semplice:
Considera l'equazione :
$2sqrt(4-(t-1)^2)=t+k-3$
Nel nostro caso possiamo assumere la variabile $t$ come $y$, dato che stiamo sulla retta $y=t$ e dunque possiamo vedere il membro a sinistra come una semiellisse e il membro a destra come un fascio improprio di rette:
$x=2sqrt(4-(t-1)^2)$ è la semiellisse
$x=t+k-3$ è il fascio improprio di rette:
Da qui per via grafica vedi dove il fascio interseca $1$ volta l'ellisse e dove $2$volte...solo che non mi trovo con le soluzioni del libro..
Considera l'equazione :
$2sqrt(4-(t-1)^2)=t+k-3$
Nel nostro caso possiamo assumere la variabile $t$ come $y$, dato che stiamo sulla retta $y=t$ e dunque possiamo vedere il membro a sinistra come una semiellisse e il membro a destra come un fascio improprio di rette:
$x=2sqrt(4-(t-1)^2)$ è la semiellisse
$x=t+k-3$ è il fascio improprio di rette:
Da qui per via grafica vedi dove il fascio interseca $1$ volta l'ellisse e dove $2$volte...solo che non mi trovo con le soluzioni del libro..
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