Problema di geometria analitica con discussione
Nel piano xOy si determino:
a.l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x,tangente nell'origine alla retta $x=2y$ e avente il vertice sulla retta $x+y-4=0$;
b.per quali valori di $k in R$ la retta di equazione $(5k+1)x+(k+1)y-4k=0$ incontra la parabola in punti del primo quadrante.
SVOLGIMENTO:
la parabola richiesta è $x=-1/2y^2+2y$.
Questo problema lo odio perchè nel punto b ci sono dei calcoli un pò rognosi...Vi espongo il mio metodo di risoluzione:
interseco la retta con la parabola e ottengo due punti le cui coordinate sono in funzione di k
$A(x_1;y_1)$ e $B(x_2;y_2)$
impongo:
$x_1>=0$
$y_1>=0$
$x_2>=0$
$y_2>=0$
In teoria dovrei ottenere 4 soluzioni separate.Inizialmente ho pensato che poichè i punti sono nel primo quadrante il valore di k deve rendere simultaneamente positivo il valore di x e y e ho pensato di intersecare le soluzioni di $x_1$ e $y_1$ ma non viene.
imponendo $x_1>=0$ mi viene una soluzione del libro ma poi quando impongo $y_1>=0$ mi viene una soluzione che non combacia con quella riportata nel testo.Se provate a risolvere il punto b vedrete che i calcoli sono lunghi...o almeno per me è così...Il ragionamento va bene???
a.l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x,tangente nell'origine alla retta $x=2y$ e avente il vertice sulla retta $x+y-4=0$;
b.per quali valori di $k in R$ la retta di equazione $(5k+1)x+(k+1)y-4k=0$ incontra la parabola in punti del primo quadrante.
SVOLGIMENTO:
la parabola richiesta è $x=-1/2y^2+2y$.
Questo problema lo odio perchè nel punto b ci sono dei calcoli un pò rognosi...Vi espongo il mio metodo di risoluzione:
interseco la retta con la parabola e ottengo due punti le cui coordinate sono in funzione di k
$A(x_1;y_1)$ e $B(x_2;y_2)$
impongo:
$x_1>=0$
$y_1>=0$
$x_2>=0$
$y_2>=0$
In teoria dovrei ottenere 4 soluzioni separate.Inizialmente ho pensato che poichè i punti sono nel primo quadrante il valore di k deve rendere simultaneamente positivo il valore di x e y e ho pensato di intersecare le soluzioni di $x_1$ e $y_1$ ma non viene.
imponendo $x_1>=0$ mi viene una soluzione del libro ma poi quando impongo $y_1>=0$ mi viene una soluzione che non combacia con quella riportata nel testo.Se provate a risolvere il punto b vedrete che i calcoli sono lunghi...o almeno per me è così...Il ragionamento va bene???
Risposte
Le condizioni su $y$ non occorrono perché la parte di parabola avente $x>=0$ è tutta compresa nel primo quadrante ed ha per estremi l'origine O ed il punto $A(0,4)$.
I calcoli possono essere fatti come li hai impostati tu, ma mi sembra più semplice esaminare il fascio di rette. Si trova che ha centro $C(1,-1)$, che la retta CA corrisponde a $k=oo$ e CO a $k=0$ mentre la retta $t$, tangente alla parabola in un punto prossimo al suo vertice, ha $k=(-29-4sqrt7)/(81)$. Le intersezioni sono entrambe nel primo quadrante se la retta è compresa fra $t$ e CA, mentre una sola intersezione è nel primo quadrante se è compresa fra CA e CO.
Salvo errori di calcolo. Non dovrebbe esserti difficile completare, notando che all'aumentare di $k$ la retta ruota in senso orario.
I calcoli possono essere fatti come li hai impostati tu, ma mi sembra più semplice esaminare il fascio di rette. Si trova che ha centro $C(1,-1)$, che la retta CA corrisponde a $k=oo$ e CO a $k=0$ mentre la retta $t$, tangente alla parabola in un punto prossimo al suo vertice, ha $k=(-29-4sqrt7)/(81)$. Le intersezioni sono entrambe nel primo quadrante se la retta è compresa fra $t$ e CA, mentre una sola intersezione è nel primo quadrante se è compresa fra CA e CO.
Salvo errori di calcolo. Non dovrebbe esserti difficile completare, notando che all'aumentare di $k$ la retta ruota in senso orario.
Giammaria il libro riporta questa soluzione:
$k>=0$ e $k<=(-29-4sqrt(7))/81$
Allora la prima soluzione la trovo graficamente mentre la seconda con la condizione $x_1>=0$.Hai ragione!La parabola sta nel primo quadrante quindi la condizione dell'ordinata positiva non serve...
$k>=0$ e $k<=(-29-4sqrt(7))/81$
Allora la prima soluzione la trovo graficamente mentre la seconda con la condizione $x_1>=0$.Hai ragione!La parabola sta nel primo quadrante quindi la condizione dell'ordinata positiva non serve...
Anche la seconda si trova graficamente. Nel ruotare da CA a $t$ si va in senso orario, quindi si hanno valori minori di quello che caratterizza $t$: per la precisione, si passa da $-oo$ a $(-29-4sqrt7)/(81)$.
La soluzione grafica è sempre migliore.Devo sempre osservare la figura graficamente e cogliere i punti chiave.Grazie Giammaria.
Prego.
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