Problema di geometria analitica con discussione
Sia C il centro della circonferenza passante per $A(-8;0)$ e tangente in $O(0;0)$ alla retta di equazione $4x-3y=0$.Determinare le equazioni delle rette $t_1$ e $t_2$ uscenti da $S(-11;2)$ e tangenti alla circonferenza.Determinare per quali valori del parametro $ k in R $ le rette di equazione y=2x+k incontrano la circonferenza in punti del 2° quadrante.Determinare inoltre graficamente i punti $P(x;y)$ appartenenti al semipiano $alfa_1$:x+y>=0 tali che $bar(PC) <=3$.
SVOLGIMENTO:
Sfoltiamo i calcoli:
circonferenza: $x^2+y^2+8x-6y=0$
$C(-4;3)$ ,raggio=5
le tangenti alla circonferenza e uscenti da S sono invece:
$t_1:y=4/3(x+11)+2$
$t_2:y=-3/4(x+11)+2$
Adesso per risolvere il penultimo punto del problema considero il sistema:
$5x^2+2(2k-2)*x+k^2-6k=0$
e
$y=2x+k$
ponendo il delta>=0 trovo
$11-5*sqrt(5)<=k<=11+5*sqrt(5)$
ma io devo trovare le rette che incontrano la circonferenza nei punti del secondo quadrante
allora considero il sistema:
$-8<=x<=0$
e
$5x^2+2(2k-2)*x+k^2-6k=0$
mi ricavo la x in funzione di k e...dopo calcoli noiosi mi avvicino quasi alla soluzione del libro...
libro:$6<=k<16$
mia soluzione:$0<=k<=16$
dov'è l'errore?
AGGIORNAMENTO:Forse ho capito.La x deve variare tra le x degli estremi del diametro.
SECONDO AGGIORNAMENTO:Ho ricontrollato i miei lunghi calcoli e ho scoperto che non avevo risolto una disequazione.
Mi vengono i seguenti intervalli
$0<=k<=16$
e
$6<=k<=22$
da cui ricavo la soluzione del libro:$6<=k<16$
è giusto?A me sembra di si.Infatti le rette che vengono per k=6 e k=16 passano in punti del secondo quadrante.Adesso devo risolvere l'ultima parte.Se ci riesco vi faccio sapere.
SVOLGIMENTO:
Sfoltiamo i calcoli:
circonferenza: $x^2+y^2+8x-6y=0$
$C(-4;3)$ ,raggio=5
le tangenti alla circonferenza e uscenti da S sono invece:
$t_1:y=4/3(x+11)+2$
$t_2:y=-3/4(x+11)+2$
Adesso per risolvere il penultimo punto del problema considero il sistema:
$5x^2+2(2k-2)*x+k^2-6k=0$
e
$y=2x+k$
ponendo il delta>=0 trovo
$11-5*sqrt(5)<=k<=11+5*sqrt(5)$
ma io devo trovare le rette che incontrano la circonferenza nei punti del secondo quadrante
allora considero il sistema:
$-8<=x<=0$
e
$5x^2+2(2k-2)*x+k^2-6k=0$
mi ricavo la x in funzione di k e...dopo calcoli noiosi mi avvicino quasi alla soluzione del libro...
libro:$6<=k<16$
mia soluzione:$0<=k<=16$
dov'è l'errore?
AGGIORNAMENTO:Forse ho capito.La x deve variare tra le x degli estremi del diametro.
SECONDO AGGIORNAMENTO:Ho ricontrollato i miei lunghi calcoli e ho scoperto che non avevo risolto una disequazione.
Mi vengono i seguenti intervalli
$0<=k<=16$
e
$6<=k<=22$
da cui ricavo la soluzione del libro:$6<=k<16$
è giusto?A me sembra di si.Infatti le rette che vengono per k=6 e k=16 passano in punti del secondo quadrante.Adesso devo risolvere l'ultima parte.Se ci riesco vi faccio sapere.
Risposte
Mi sembra che la situazione sia questa:
Le rette del fascio $y = 2x + k$ tra la $r$ e la $s$ intersecano l'arco in un punto, quelle tra $s$ e $t$ in due.
Poiché $k$ è il termine noto del fascio, i valori che corrispondono alle rette $r$, $s$ e $t$ sono le intercette sull'asse $y$ di tale rette.
Le rette del fascio $y = 2x + k$ tra la $r$ e la $s$ intersecano l'arco in un punto, quelle tra $s$ e $t$ in due.
Poiché $k$ è il termine noto del fascio, i valori che corrispondono alle rette $r$, $s$ e $t$ sono le intercette sull'asse $y$ di tale rette.
Ragazzi non riesco a trovare una soluzione per l'ultima parte del problema.
A me viene il seguente sistema:
$x+y>=0$
e
$x^2+y^2+8x-6y+22<=0$
se ho visto giusto devo trovare i punti delimitati dalla circonferenza del sistema e dalla bisettrice del 2 e 4 quadrante che soddisfano la condizione:
$bar(PC)<=3$
.All'inizio ho pensato di trovare l'asse del segmento (quest'ultimo ottenuto dall'intersezione della retta con la circonferenza) e di farlo variare tra i due estremi dell'intersezione...ma niente,non viene.
Come posso ragionare?
Forse la soluzione è nel disegno postato da Chiarotta...dovrei tracciare tutte le rette trovate e vedere se un loro punto soddisfa la condizione richiesta...Consigli?Esiste una soluzione più analitica?
A me viene il seguente sistema:
$x+y>=0$
e
$x^2+y^2+8x-6y+22<=0$
se ho visto giusto devo trovare i punti delimitati dalla circonferenza del sistema e dalla bisettrice del 2 e 4 quadrante che soddisfano la condizione:
$bar(PC)<=3$
.All'inizio ho pensato di trovare l'asse del segmento (quest'ultimo ottenuto dall'intersezione della retta con la circonferenza) e di farlo variare tra i due estremi dell'intersezione...ma niente,non viene.
Come posso ragionare?
Forse la soluzione è nel disegno postato da Chiarotta...dovrei tracciare tutte le rette trovate e vedere se un loro punto soddisfa la condizione richiesta...Consigli?Esiste una soluzione più analitica?
"Determinare inoltre graficamente i punti P(x;y) appartenenti al semipiano alfa1:x+y>=0 tali che PC<=3."
Mi sembra che si tratti dei punti del segmento circolare che risulta dall'intersezione del cerchio di centro $C$ e raggio 3 ($(x+4)^2+(y-3)^2=9$) con il semipiano $alpha_1: y>=-x$.
Mi sembra che si tratti dei punti del segmento circolare che risulta dall'intersezione del cerchio di centro $C$ e raggio 3 ($(x+4)^2+(y-3)^2=9$) con il semipiano $alpha_1: y>=-x$.
il libro riporta come soluzione
$K in [16;11+5sqrt(5)]$
dunque le soluzioni devono essere i punti di quelle rette comprese tra quelle che hanno k$=16$ e k=$11+5sqrt(5)$...quindi alla fine il problema si risolve per via grafica con questo ragionamento...
$K in [16;11+5sqrt(5)]$
dunque le soluzioni devono essere i punti di quelle rette comprese tra quelle che hanno k$=16$ e k=$11+5sqrt(5)$...quindi alla fine il problema si risolve per via grafica con questo ragionamento...
Questi sono i valori di $k$ che hanno le rette del fascio comprese fra $s$ e $t$, che hanno due intersezioni con la circonferenza $(x+4)^2+(y-3)^2=25$.
In conclusione le rette del fascio $y=2x+k$ intersecano l'arco di circonferenza che sta nel secondo quadrante:
in un punto se $6<=k<16$,
in due punti se $16<=k<=11+5sqrt(5)$.
In conclusione le rette del fascio $y=2x+k$ intersecano l'arco di circonferenza che sta nel secondo quadrante:
in un punto se $6<=k<16$,
in due punti se $16<=k<=11+5sqrt(5)$.
Buonasera ragazzi... rispolvero questa discussione, seppur vecchia, in quanto mi è stato sottoposto da mia nipote alla quale lo hanno proposto come "verifica" per non so cosa. Insieme, siamo rusciti a determinare l'equazione della circonferenza, le equzioni delle rette tangenti alla circonferenza uscenti da $ S (-11; 2) $, ma non riusciamo a trovare gli intervalli, nei quali deve ricadere il parameto $ k in R $, affinchè si determinino le rette appartenenti al fascio $ y=2x+k $ che toccano la circonferenza in punti del II quadrante. Anzitutto abbiamo trovato, come su scritto, l'equazione risolvente, che esce fuori:
$ 5x^2+2(2k-2)*x+k^2-6k=0 $
Considerando che deve essere, per condizione anche di esistenza, $ 11-5sqrt(5)<=k<=11+5sqrt(5) $, ho tenuto presente che, determinati i valori di $ x $ in funzione di $ k $, deve essere l'ordinata sempre positiva e l'ascissa negativa, ma compresa tra i valori per i quali è possibile intersecare la circonferenza nel II quadrante, e cioè, $ -8<=x<=0 $.
I punti che abbiamo determinato sono i seguenti: $ P_1 ( \frac{2-2k-\sqrt{4+22k-k^2}}{5}; \frac{k+4-2\sqrt{4+22k-k^2}}{5} ) $ e $ P_2 ( \frac{2-2k+\sqrt{4+22k-k^2}}{5}; \frac{k+4+2\sqrt{4+22k-k^2}}{5} ) $.
Inponendo, poi, la condizione su citata, dovremmo trovare il risultato. Ma non ci riusciamo in nessun modo. Qualcuno potrebbe aiutarci?!
Grazie mille
$ 5x^2+2(2k-2)*x+k^2-6k=0 $
Considerando che deve essere, per condizione anche di esistenza, $ 11-5sqrt(5)<=k<=11+5sqrt(5) $, ho tenuto presente che, determinati i valori di $ x $ in funzione di $ k $, deve essere l'ordinata sempre positiva e l'ascissa negativa, ma compresa tra i valori per i quali è possibile intersecare la circonferenza nel II quadrante, e cioè, $ -8<=x<=0 $.
I punti che abbiamo determinato sono i seguenti: $ P_1 ( \frac{2-2k-\sqrt{4+22k-k^2}}{5}; \frac{k+4-2\sqrt{4+22k-k^2}}{5} ) $ e $ P_2 ( \frac{2-2k+\sqrt{4+22k-k^2}}{5}; \frac{k+4+2\sqrt{4+22k-k^2}}{5} ) $.
Inponendo, poi, la condizione su citata, dovremmo trovare il risultato. Ma non ci riusciamo in nessun modo. Qualcuno potrebbe aiutarci?!
Grazie mille
.
@ Alfy88
Se procedi graficamente, del fascio improprio:
basta determinare la retta passante per:
quindi:
e la retta tangente in un punto del 2° quadrante:
In definitiva:
Se procedi graficamente, del fascio improprio:
$y=2x+k$
basta determinare la retta passante per:
$(-8,0)$
quindi:
$[0=-16+k] rarr [k=16]$
e la retta tangente in un punto del 2° quadrante:
$[|-8-3+k|/sqrt5=5] rarr [k=11+-5sqrt5] rarr [k=11+5sqrt5]$
In definitiva:
$16 lt k lt= 11+5sqrt5$
Innanzitutto, grazie per la risposta... non dovrebbe essere anche l'ascissa maggiore di $ x= -8 $ e le ordinate minori di $ y = 6 $?
In ogni caso il risultato del testo è 1 sol. per $ k in [6;16[ $ e 2 sol. per $ k in [16; 11+5sqrt(5)] $
In ogni caso il risultato del testo è 1 sol. per $ k in [6;16[ $ e 2 sol. per $ k in [16; 11+5sqrt(5)] $
.
Se basta un solo punto appartenente al 2° quadrante devi determinare anche la retta passante per:
$(0,6)$
"sellacollesella":
[quote="Alfy88"]In ogni caso il risultato del testo è 1 sol. per $ k in [6;16[ $ e 2 sol. per $ k in [16; 11+5sqrt(5)] $
In tal caso ho ampliato la risposta, ma la sostanza non cambia.[/quote]
Grazie...
Devo solo capire da dove arriva a soluzione del testo $ k in [6;16[ $.
Grazie di cuore a tutti per la risposta.
.
"sellacollesella":
[quote="Alfy88"]Devo solo capire da dove arriva a soluzione del testo $ k in [6;16[ $.
Se il primo punto è nel secondo quadrante per \(6
Giusto, grazie mille
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