Problema di geometria analitica con discussione

[shintek201]

Determinare infine una corda della circonferenza $x^2+y^2 -4x -2y+1=0$ parallela all'asse x,situata nel 1° quadrante in modo che risulti uguale a k(k€R+) la somma della sua lunghezza con la sua distanza del vertice della parabola $ y=-1/2x^2 +2x+1$

Il vertice lo trovato io e risulta (2;6)

Risultati : 1 so. k € $[0; 3+2sqrt3$ ; 2 so. per k € $[3+2sqrt3 ; 2+2sqrt5]

Mi dispiace,ma non so proprio da dove iniziare.

[@melia]

Il vertice non è $(2, 6)$ , ma $(2, 3)$
Potresti iniziare indicando con $y=t$ una retta parallela all'asse x e intersecarla con la circonferenza, ovviamente $-1<=t<=3$ altrimenti la retta non interseca la circonferenza. La distanza della retta e quindi anche della corda dal vertice è $3-t$, la lunghezza della corda può essere calcolata una volta noti i punti di intersezione con della retta con la circonferenza.

[shintek201]

Potresti iniziare indicando con una retta parallela all'asse x e intersecarla con la circonferenza,

L'ho intersecata ecco come mi viene:
$ x^2-4x+t^2-2t+1=0$

E ora?

[Nicole931]

ora ricavi la x in funzione di t ed ottieni le ascisse dei due punti intersezione
a questo punto per avere la lunghezza della corda trovi la distanza tra i due punti (poichè sono su una parallela all'asse delle ascisse basta che fai la differenza tra i due valori di x trovati)

[shintek201]

Ok distanza fatta

ecco come mi viene $ 2sqrt(2t-t^2+3)$

E ora?

[@melia]

"shintek20":...risulti uguale a k(k€R+) la somma della sua lunghezza con la sua distanza del vertice della parabola

$ 2sqrt(2t-t^2+3)+ 3-t=k$ con $-1≤t≤3 $