Problema di Geometria Analitica

[Marco241]

Dopo aver scritto l'equazione della circonferenza $C$ con centro nell'origine degli assi e tangente a $T$ alla retta $r:x+y-6sqrt(2)=0$,determinare:

a.le equazioni delle circonferenze tangenti in T alla retta r e alla circonferenza C e aventi raggio uguale alla metà di quello di $C$;

b.le tangenti a ciascuna delle tre circonferenze parallele alla retta r;

c.i punti $P in C$ situati nel terzo quadrante tali che risulti

$sqrt(2)*bar(PH)+bar(PI)= k$, $k in R$.

Essendo $bar(PH)$ e $bar(PI)$ rispettivamente le distanze di P dalla retta r e dall'asse x.

SVOLGIMENTO:

Sfoltiamo i calcoli.

a.le circonferenze richieste sono:

$C:x^2+y^2-36=0$

$C_1:x^2+y^2-3sqrt(2)-3sqrt(2)y=0$

$C_2:x^2+y^2-9sqrt(2)-9sqrt(2)y+72=0$

$C(0;0)$ $r=6$

$C_1(3sqrt(2)/2;3sqrt(2)/2)$ ,$r_1=3$

$C_2(9sqrt(2)/2;9sqrt(2)/2)$,$r_2=3$

b. le rette richieste eccole:

$x+y+6sqrt(2)=0$,$x+y-6sqrt(2)=0$,$x+y=0$,$x+y-12sqrt(2)=0$

c.l'ultimo punto è una sofferenza e intuisco calcoli lunghi e noiosi...

Il generico punto P di C essendo nel terzo quadrante ha le seguenti coordinate:

$P(-sqrt(36-y^2);y)$

adesso considero la seguente equazione:

$ |-sqrt(36-y^2)+y-6sqrt(2)| + |y| =k$

con

$-6<=y<=0$

e considero i seguenti sottocasi:

1)moduli entrambi positivi.

2)moduli entrambi negativi.

3)modulo positivo e l'altro negativo.

4) viceversa del punto 3).

ho pensato anche di portare il modulo $|y|$ al secondo membro dell' equazione ed elevare tutto al quadrato per liberarmi dei moduli ma in entrambi i casi i calcoli sono lunghi e noiosi.Vedete soluzioni più rapide?

[@melia]

$P in III q$ quindi $y_p<0$ perciò $|y_p|= - y_p$, inoltre $P$ sta sempre dalla stessa parte rispetto ad $r$, quindi l'argomento del modulo della distanza punto-retta ha sempre lo stesso segno, che, nel caso della formula che hai utilizzato, è anch'esso negativo. Alla luce di queste considerazioni basta calcolare
$ +sqrt(36-y^2)-y+6sqrt(2)-y =k$ con la condizione $-6 < y < 0$

[Marco241]

Allora la retta r si trova nel primo quadrante e ..ok.Il punto P ha sia ascissa e ordinata negativa poichè è nel quarto quadrante e dunque si sceglie la condizione negativa dei due moduli.Adesso non mi resta che risolvere l'equazione.

Ma perchè escludi -6 e 0?

[@melia]

In effetti all'inizio li avevo considerati, poi ho pensato di scluderli perché non sono propriamente nel terzo quadrante, sono nella sua frontiera, si possono anche considerare.