Problema di geometria analitica

[Kinya]

Salve, non riesco a risolvere questo problema, qualcuno può darmi una mano?
" Dati i punti A(-3;3) e B(-1;-3) determinare le coordinate dei punti C e D tali che ABC e ABD siano due triangoli equilateri.."
GRazie mille per qualsiasi informazione, non riesco a sbloccarmi per determinare le coordinate..
Grazie mille

[@melia]

Prendi un generico punto del piano $C(x_0, y_0)$ e imponi che la sua distanza da A e da B sia uguale alla lunghezza del segmento AB. Dovresti ottenere due soluzioni che ti danno sia il punto C che il punto D.

$bar(AB)= sqrt((-3+1)^2+(3+3)^2)$
$bar(AC)= sqrt((-3-x_0)^2+(3-y_0)^2)$
$bar(BC)= sqrt((-1-x_0)^2+(-3-y_0)^2)$

$\{(sqrt((-3-x_0)^2+(3-y_0)^2)=sqrt((-3+1)^2+(3+3)^2)),(sqrt((-1-x_0)^2+(-3-y_0)^2)=sqrt((-3+1)^2+(3+3)^2)):}$

Solo con l'uso delle distanze il problema viene lunghetto, se hai fatto anche le rette il problema può essere risolto in modo un po' più semplice.

[Kinya]

Ciao, grazie mille per la tua risposta.. io ho impostato il sistema come mi hai detto.. e mi trovo il sistema che ha come prima equazione : radice x^2+y^2-6y+6x+18 = radice di 40; e come seconda equazione : radice di x^2+y^2+6y+2x+10= radice di 40.
Da questo punto non riesco ad andare avanti. Scusa la mia ignoranza, solo che questi tipi di esercizi non li ho mai fatti e non riesco a risolverli..
Grazie

[@melia]

basta uguagliare i radicandi

$\{(x^2+y^2-6y+6x+18 = 40),(x^2+y^2+6y+2x+10= 40):}$
con la riduzione (facendo la differenza delle equazioni) ti ricavi un'equazione di primo grado $12y-4x-8=0$ dalla quale puoi ricavare x e sostituirla in una qualunque delle due equazioni di secondo grado.
Ciao

[Kinya]

Grazie mille @melia, sei stata veramente gentile. Volevo chiederti se è possibile chiederti ulteriori info, sempre su problemi in cui bisogna ricercare le coordinate di punti...
Te li posto poi se non è possibile grazie lo stesso...
"Dato il punto A(-2;-3) e detto A' il simmetrico di A rispetto all'origine, determinare i punti P dell'asse x tali che il triangolo APA' sia rettangolo in P"
"Nel piano xOy sono dati i punti A(-4;2) e C(6;0). Determinare i punti B e D che formano con A e C un rombo ABCD di perimetro 4 per radice di 130, indicando con B il vertice contenuto nel primo Quadrante"
Grazie mille ancora. Ripeto se ci fossero problemi per te o inerenti le regole del forum, non fa niente..
Grazie mille

[@melia]

Devi sforzarti un poco anche tu. Soprattutto il primo problema è molto semplice.
"Dato il punto A(-2;-3) e detto A' il simmetrico di A rispetto all'origine, determinare i punti P dell'asse x tali che il triangolo APA' sia rettangolo in P"
Disegna un sistema di assi cartesiani. Disegna il punto A e il suo simmetrico A' rispetto all'origine. Quali sono le coordinate di A'?
Il punto P appartiene all'asse x, quindi le coordinate di P sono...
Usando le misure dei lati, quale teorema ti permette di stabilire che un triangolo è rettangolo?
Ricorda che il teorema di Pitagora vale sia in andata che in ritorno, quindi se la somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell'ipotenusa, allora il triangolo è rettangolo.
Prova ad impostare qualcosa.

[Kinya]

Ho impostato il problema e ho messo che P è uguale a (x,0). Poi ho messo a sistema AA'=AP e A'P=AP ma svolgendo i passaggi non riesco a trovarmi. Ho commesso qualche errore?

[@melia]

certo, devi applicare il teorema di Pitagora e porre $bar(A A')^2=bar(AP)^2+ bar(A'P)^2$ perché l'angolo retto deve essere in P, quindi l'ipotenusa è AA'

[Sk_Anonymous]

Non so se può interessare ma il primo problema è risolvibile con un modesto uso di teoria dei vettori.
Premetto alcune cose.
Se E è il punto medio di AB,risulta$bar(EC)=sqrt(30)$;inoltre la retta CD è l'asse di AB e dunque passa per
E(-2,0) ed ha per coeff. angolare l'antireciproco di quello di AB.Essendo $m(AB)=-3$ segue che $m(CD)=1/3$
Il vettore direzionale di tale retta può essere indicato allora con $vec(v)=(3,1) $ ed il suo versore (vettore unitario)
sarà $vec(u)=(3/(sqrt(10)),1/(sqrt(10)))$
Se usiamo la convenzione $vec(X)=vec(OX)$ con O origine fissa delle coordinate ,dalla figura risulta che :

$vec(C)-vec(E)=bar(EC)*vec(u)$ da cui $vec(C)=vec(E)+bar(EC)*vec(u)$

Ovvero [ posto C(x,y) ]:
$(x,y)=(-2,0)+sqrt(30)*(3/(sqrt(10)),1/(sqrt(10)))$
Pertanto, facendo i calcoli ,si trova che le coordinate di C sono:
$C=(-2+3sqrt(3),sqrt(3))$
In maniera analoga ( oppure osservando che D è il simmetrico di C rispetto ad E ) si ha:
$D=(-2-3sqrt(3),-sqrt(3))$

Auguroni a tutti ...