Problema di Geometria Analitica
Buonasera a tutti!
In occasione di un ripasso estivo, ho trovato il seguente problema di Geometria Analitica:
Dimostrare che un triangolo i cui lati sono dati da equazioni a coefficienti interi, non può essere un triangolo equilatero.
Ho svolto la dimostrazione nel caso in cui vi siano due vertici (simmetrici rispetto all'origine) sull'asse delle ascisse. E' sufficiente questa dimostrazione o devo necessariamente trovare una generalizzazione?
Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.
In occasione di un ripasso estivo, ho trovato il seguente problema di Geometria Analitica:
Dimostrare che un triangolo i cui lati sono dati da equazioni a coefficienti interi, non può essere un triangolo equilatero.
Ho svolto la dimostrazione nel caso in cui vi siano due vertici (simmetrici rispetto all'origine) sull'asse delle ascisse. E' sufficiente questa dimostrazione o devo necessariamente trovare una generalizzazione?
Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.
Risposte
Intendeva forse dire che l'equazione delle rette su cui giacciono i lati, in forma esplicita, non devono avere coefficienti interi?
Nel senso che non devono essere del tipo
$y=ax+b$ con $a,b$ interi?
Ciao.
Nel senso che non devono essere del tipo
$y=ax+b$ con $a,b$ interi?
Ciao.
probabilmente con qualche aggiunta potresti anche arrivare, ma da sola temo che non sia sufficiente: non è tanto la simmetria rispetto all'origine, quanto l'imporre che due punti abbiano la stessa ordinata. piuttosto potresti prendere un vertice nell'origine e gli altri due sulla circonferenza con centro nell'origine e raggio pari alla misura del lato del triangolo...
ciao.
ciao.
Rispondo a Steven: in effetti non mi è chiaro se il testo faccia riferimento alle equazioni in forma esplicita o i forma implicita. Io, onestamente, ho subito pensato che le equazioni dei lati venissero date in forma implicita... ma non saprei...
Ciao, vediamo se ti convince questa dimostrazione.
Supponiamo di aver scelto la retta su cui giace il nostro segmento, e di averla scelta come vuole il problema, ovvero con il coefficiente angolare e il termine noto interi.
Sia
$y=ax+q$ con $ainZZ$
La retta su cui giace l'altro lato forma un angolo di 60° con questa, visto che in un triangolo equilatero gli angoli interni sono ugualmente ampi 60°.
Dimostriamo che non è possibile trovare una retta che formi con la nostra un angolo di 60° e abbia coefficiente angolare intero.
La nota relazione tra coefficienti ang. e angolo formato ci dice che, detto $b$ il coeff. ang. della seconda retta,
$\frac{b-a}{1+ab}=tan(pi/3)=sqrt3$
$\frac{a-b}{1+ab}=sqrt3$ ovvero giungiamo facilmente dopo qualche conto che non riporto, a
$b=\frac{sqrt3a^2+sqrt3+4a}{1-3a^2}$
Il numeratore è chiaramente irrazionale, il numeratore intero (e quindi razionale).
Il rapporto tra un irrazionale e un razionale è un irrazionale, quindi $b$ non potrà essere intero.
Se servono altri chiarimenti, dimmelo pure.
Ciao.
Supponiamo di aver scelto la retta su cui giace il nostro segmento, e di averla scelta come vuole il problema, ovvero con il coefficiente angolare e il termine noto interi.
Sia
$y=ax+q$ con $ainZZ$
La retta su cui giace l'altro lato forma un angolo di 60° con questa, visto che in un triangolo equilatero gli angoli interni sono ugualmente ampi 60°.
Dimostriamo che non è possibile trovare una retta che formi con la nostra un angolo di 60° e abbia coefficiente angolare intero.
La nota relazione tra coefficienti ang. e angolo formato ci dice che, detto $b$ il coeff. ang. della seconda retta,
$\frac{b-a}{1+ab}=tan(pi/3)=sqrt3$
$\frac{a-b}{1+ab}=sqrt3$ ovvero giungiamo facilmente dopo qualche conto che non riporto, a
$b=\frac{sqrt3a^2+sqrt3+4a}{1-3a^2}$
Il numeratore è chiaramente irrazionale, il numeratore intero (e quindi razionale).
Il rapporto tra un irrazionale e un razionale è un irrazionale, quindi $b$ non potrà essere intero.
Se servono altri chiarimenti, dimmelo pure.
Ciao.
Steven ti ringrazio per la dimostrazione che mi hai fornito... Mi ha convinto!
Ciao!
Ciao!
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