Problema di geometria analitica..

[Sciabba]

Scrivi l'equazione della parabola, con l'asse parallelo all'asse y, passando per il punto P(1/2;-5/4) e tangente alla retta di equazioni y=4x-4 nel punto di ascissa 1.

[Ali Q]

Ecco a te:

Una parabola ad asse verticale come questa ha generica equazione:
y = ax^2 + bx + c

Essa passa per il P. Le coordinate di P, dunque, sostituite nell'equazione della retta, rendono vera l'uguaglianza:
-5/4 = a *(1/2)^2 + b/2 + c
-5/4 = a/4 + b/2 + c

Parabola e retta devono essere tangenti.
Dunque si mettono a sistema i due grafici e nell'equazione di secondo grado ottenuta si impone un delta pari a 0 (condizione di tangenza)

Y= 4x -4
y = ax^2 +b x + c

4x -4 = a x^2 + bx + c

ax^2 + (b-4)x + (c +4)

Delta = (b-4)^2 -4a(c+4) = 0
b^2 +16 -8b -4ac -16 a = 0

x = 1 = -(b-4)/2a

Vediamo di mettere insieme tutte queste condizioni:
1 = -(b-4)/2a
2a = -b + 4
-b = 2a -4
b = 4-2a

Sostituisco questa prima condizione nella formual del delta:
(4-2a)^2 +16 -8(4-2a) -4ac -16 a = 0
16 +4a^2 -16a +16 -32 +16 a -4ac -16 a = 0
4a^2 -32 a -4ac = 0
4ac = 32 a -4a^2
c = 8 -a

Sostuendo queste due condizioni (che esprimono b e c in funzione di a) nella primissima condizione (-5/4 = a/4 + b/2 + c), è possibile stimare a.
Ricordando che b= 4 -2a e c = 8-a si arriva alla soluzione.

Ciao!!!

[Sciabba]

Da cosa deriva questo passaggio x = 1 = -(b-4)/2a
??????

[Ali Q]

Ti spiego subito:
La soluzione dell'equazione di secondo grado è:
x = -(b-4)/2a

Tuttavia il testo del probelma ci dice che la tangenza avviene in un punto di ascissa 1.
Il che significa che il punto x ha valore 1.

Ecco che allora è possibile scrivere: x =1 = -(b-4)/2a

[Sciabba]

Può essere che a=5 ?

[Ali Q]

Con il procedimento che ti ho postato mi tornerebbe che a = 45/7, veramente:

-5/4 = a/4 +2 -a +8 -a
-5/4 -2 -8 = a/4 -a-a
-5/4 -8/4 -32/4 = a/4 -4a/4 -4a/4
-45/4 = -7/4 a

Ma nel caso in cui il tuo libro di testo riporti invece un altro risultato, puoi provare a ricontrollare che non abbia commesso errori nel procedimento postato (piccole cose, come il tralasciare un segno o trascrivere male un calcolo...)