Problema di geometria analitica 209

[Marco241]

Determinare l'equazione della parabola passante per il punto $B (5;15/4)$ e tangente nell'origine O degli assi alla retta OA con $A(5/2;5)$ .Verificare che A è sulla direttrice della parabola e che la retta AB è perpendicolare alla retta OA ed è tangente alla parabola.Inscrivere nel segmento parabolico determinato dall'asse x un rettangolo con un lato sull'asse x di perimetro 2p $p in R+0$

SVOLGIMENTO:

La parabola cercata è la seguente:

$y=-1/4x^2+2x$

$V(4;4)$ ,$O(0;0)$,$T(8;0)$

andiamo a vedere il quesito finale.

Dopo aver tracciato la parabola e costruito il rettangolo richiesto...o meglio facciamo così per capirci:

nell ' intervallo $4<=x<=8$ mi prendo un generico punto B della parabola.Noto però che se esprimo tutto in funzione di x e mi ricavo le lunghezze dei due lati del rettangolo ho difficoltà a far variare la x...perchè il rettangolo risulta simmetrico rispetto all'asse di simmetria della parabola e viene spezzato in due quadrati congruenti.

Però se faccio variare la y tra zero e 4 i punti A e B coincidono con il vertice V della parabola e il rettangolo diviene l'asse di simmetria della parabola oppure se le y di A e B vanno a zero il rettangolo diviene un segmento dell'asse x.Detto ciò mi trovo:

$y^2+2y(8-p)+p^2-64=0$

$0<=y<=4$

Alla fine risolvendo il tutto ottengo due intervalli:

$-8<=p<=4$ che scarto subito perchè p non può essere negativo.

e $4<=p<=8$ che è la soluzione del libro.

Però non sono convinto della mia procedura...Consigli?

[@melia]

Non ho capito perché hai scartato la possibilità di usare la x che è molto più facile, soprattutto dopo le considerazioni che avevi fatto. Preso un punto B sulla parabola, preferisco l'intervallo $0<=x<=4$, le sue coordinate sono $(x, -1/4x^2+2x)$, per trovare le coordinate del punto simmetrico rispetto all'asse della parabola basta applicare la simmetria assiale rispetto alla retta $x=4$ che lascia invariato y e manda x in $8-x$ per cui il punto simmetrico ha coordinate $(8-x, -1/4x^2+2x)$ e non serve elevare al quadrato rischiando di aggiungere soluzioni.

[Marco241]

Ok melia grazie della risposta!

[@melia]

Prego, Marco, ma io mi chiamo Amelia. Ciao