Problema di geometria analitica 167

[Marco241]

Trovare l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y e passante per i punti $A(3;0)$, $B(-1;0)$ e $C(0;1)$ e disegnarla indicando con $V$ il vertice e con $D$ la sua proiezione sull'asse $x$. Determinare poi sull'arco $AV$ un punto $P$ tale che ,dette $M$ ed $N$ le sue proiezioni rispettivamente sull'asse x e sull'asse di simmetria della parabola ,risulti uguale a k,numero reale positivo,il rapporto tra l'area del quadrilatero $DMPV$ e l'area del triangolo $DPN$


SVOLGIMENTO:

La parabola richiesta è la seguente $y=-1/3*x^2+2/3*x+1$.

Riporto i punti principali:

$V(1;4/3)$

$D(1;0)$

$P(x;y)$ ovviamente poi esprimo y in funzione di x.

$M(x;0)$

$N(1;y)$

ovviamente l'area del quadrilatero $DMPV$ la esprimo come somma delle aree di due triangoli:

$A_T(DMV)+A_T(MVP)=DMPV$

Ottengo:

$A_T(DMV)=2/3*|x-1|$

$A_T(MVP)=1/6*|x^3-3x^2-x+3|$

$A_T(DPN)=1/6*|-x^3+3x^2+x-3|$

In definitiva ottengo il seguente sistema:

$(x^3-3x^2+3x-1)/(-x^3+3x^2+x-3)=k$

$1<=x<=3$

ottengo il polinomio di terzo grado :

$(k+1)x^3+x^2(-3k-3)+(3-k)x+3k-1=0$

nella risoluzione del polinomio considero i valori di x in funzione di k cioè:

$x_12=(k+1+-2*sqrt(k^2+k))/(k+1)$

$1<=x<=3$

Solo che il problema non mi viene.deve venire:

$k>=2$

dove sbaglio?E' un errore di calcolo? Oppure sbaglio qualcosa nella proiezione dei punti?Dritte?Consigli?

[chiaraotta1]

Poiché
$S_text(DMPV)=1/2*(bar(VD)+bar(PM))*bar(MD)$
e
$S_text(DPN)=1/2*bar(MD)*bar(PM)$,
allora l'equazione è
$(S_text(DMPV))/(S_text(DPN))=k->(1/2*(bar(VD)+bar(PM))*bar(MD))/(1/2*bar(MD)*bar(PM))=k->$
${((bar(VD)+bar(PM))/(bar(PM))=k), (bar(MD)!=0):}->{((bar(VD))/(bar(PM))+1=k), (bar(MD)!=0):}->{((bar(VD))/(bar(PM))=k-1), (bar(MD)!=0),(k>1):}$.

Ma
$bar(VD)=4/3$
e
$bar(PM)=-1/3x^2+2/3x+1$.

Quindi l'equazione è
$4/3=(k-1)*(-1/3x^2+2/3x+1)$ con $1 oppure
$4/(3(k-1))=-1/3x^2+2/3x+1$ con $1
Riscrivendola come
${(y=4/(3(k-1))),(y=-1/3x^2+2/3x+1):}$
è chiaro che una retta del fascio $y=4/(3(k-1))$ interseca l'arco $VA$ una volta sola e solo se
$0<=4/(3(k-1))<4/3->0<=1/(k-1)<1->k>2$.

[Marco241]

Chiarotta cerchiamo di capire il mio errore:

la mia svista è stata quella di non considerare il quadrilatero DMPV per quello che è:un trapezio rettangolo.

PNDM è ovviamente un quadrato è questa conoscenza può essere usata per semplificare i calcoli.

Poi considerando dove varia la y ciò rende la risoluzione del problema ancora più semplice.Grazie Chiarotta!!