Problema di geometria analitica

[HowardRoark]

' Considera la retta $r$ di equazione $y=-x$, la retta $s$ di equazione $y=x/2$ e il punto $F(-1;2)$ Determina su $s$ un punto $P$ di ordinata positiva tale che $PF + sqrt(2)PH = 4$, dove $PH$ è la distanza di $P$ dalla retta $r$.'

1) Il punto $P$ appartiene ad $s$, quindi avrà coordinate $P(x;x/2)$. Poiché $P$ ha ordinata positiva, $x>0$


2) Calcolo $PF$ tramite la formula della distanza fra due punti, e viene $ PF = sqrt(5/4x^2 + 5) $


3) Calcolo $PH$ tramite la formula della distanza di un punto da una retta: $PH = x$


4) Risolvo l'equazione $ sqrt(5/4x^2 + 5) + sqrt(2)x = 4 $. Facendo i conti, mi ritrovo con $9x^4 - 1784x^2 + 1936= 0$.

Ponendo $x^2=z$ e calcolando il delta di $9z^2 - 1784z + 1936 = 0$ mi viene un quadrato non perfetto, quindi credo di aver sbagliato qualcosa.

[Sascia63]

Allora i primi due punti sono giusti, mentre il terzo no.
3) $PH=(3/(2*sqrt(2)))abs(x) $
Quindi avrai$ sqrt(5/4x^2 + 5) + 3/2x = 4 $ alla fine ti puoi ricondurre all'equazione $ x^2-12x+11=0 $ con $0 La soluzione è

$x=1$

[@melia]

Un primo errore viene dal calcolo di PH, la distanza di un punto $P(x_0, y_0)$ dalla retta $ax+by+c=0$ è
$d(P,r)=(ax_0+by_0+c)/sqrt(a^2+b^2)$ nel caso specifico
$bar(PH)=(x+x/2)/sqrt(1+1)=(3x)/(2sqrt2)$
sostituendo nella formula si ottiene
$1/2 sqrt(5x^2+20)+sqrt2*(3x)/(2sqrt2)=4$ da cui $sqrt(5x^2+20)+3x =8$
a questo punto NON deve venire una biquadratica, puoi risolvere l'equazione irrazionale direttamente, isolando la radice
$sqrt(5x^2+20)=8-3x$
Mi raccomando non dimenticare le condizioni di esistenza!

[HowardRoark]

Avevo pasticciato con la formula della distanza di un punto da una retta .

Considerando le condizioni di esistenza mi viene 1, come previsto.

Vi ringrazio, senza di voi mi sarei impantanato non so quante volte!