Problema di geometria analitica 1121

[FendiMoss]

Considera la parabola di equazione y=x2-4x+5 e determina il suo punto P di ascissa 4. Scrivi poi l'equazione della tangente T in P alla parabola. Determina l'equazione della retta tangente nel vertice V alla parabola e calcola il punto d'intersezione di questa tangente con la tangente T.

[ciampax]

Ok, qual è il problema?

[FendiMoss]

Ho trovato il punto P sostituendo l'ascissa alla parabola ottenendo il punto P(4;5) poi non so andare avanti.

[ciampax]

La retta tangente in P alla parabola deve appartenere al fascio di equazione

[math]y-5=m(x-4)[/math]

, che racchiude tutte le rette passanti per P. Al fine di trovare quella tangente, e quindi il giusto valore di

[math]m[/math]

, devi imporre una nota condizione: parabola e retta sono tangenti se e solo se il loro punto di intersezione è unico. Se allora metti a sistema le due equazioni del fascio e della parabola, e ricavi il valore di y da una delle due, sostituendo nell'altra, troverai una equazione di secondo grado in x. Affinché tale equazione abbia solo una soluzione, il suo discriminante, deve essere pari a zero: tale condizione è quella di cui necessiti per ricavare m. Prova.

[FendiMoss]

Ho fatto i calcoli ed ho 2 soluzioni: x=4 e x=m

[ciampax]

Assolutamente impossibile! Devi trovare il valore di m, non quello di x. Mettendo a sistema ottieni l'equazione

[math]x^2-4x+5=mx-4m+5[/math]

che diventa

[math]x^2-(4+m)x+4m=0[/math]

Imponendo la condizione che dicevo, si ha

[math](4+m)^2-16m=0[/math]

che ti permette di determinare un unico valore di

[math]m[/math]

.