Problema di geometria (82509)

[Antonio_Esposito95]

Nel triangolo rettangolo ABC i cateti AB e BC sono lunghi rispettivamente 4 e 3
unità. sia BH l’altezza relativa all’ipotenusa AC, e sia K la proiezione ortogonale di H su AB. Quanto misura HK? [Risultato 45/25]

[Ali Q]

Soluzione:

Determinamo innanzi tutto il valore di AC.
Poichè AB e BC misurano rispettivamente

[math]4[/math]

e

[math]3[/math]

[math]unita[/math]

, AC ne misurerà

[math]5[/math]

, dal momento che

[math]3-4-5[/math]

risulta essere la terna pitagorica più conosciuta.

Possiamo determinare l'area del traingolo ABC.

[math]Area (ABC) = AB* BC/2 = 4*3/2 = 6 [/math]

Quest'area è quella che si otterrebbe anche moltiplicando l'ipotenusa AC per l'altezza ad essa realtiva e poi dividendo tutto per due. Sapendo questo posso determinare BH.

[math]BH = Area*2/5 = 6*2/5 = 12/5[/math]

Esiste a questo punto più di un modo di porcedere. Io ho pensato di utilizzare le similitudine tra traingoli.

BH risulta essere l'ipotenusa di un altro tringolo rettangolo: BHK, di cui HK è uno dei cateti.
Ora, i traingolo ABC e BHK risultano essere tra loro

[math]simili[/math]

.

Infatti se

[math]HK[/math]

è perpendicolare ad

[math]AB[/math]

,

[math]BH [/math]

ad

[math]AC[/math]

, e

[math]KB[/math]

a

[math]BC[/math]

, i due triangoli hanno gli stessi angoli.

Se sono simili, essi avranno i lati tra loro proporzionali. Troviamo quanto vale questa proporzione confrontando le due ipotenuse:

[math]BH/AC = 12/5 : 5 = 12/25[/math]

Quindi anche

[math]HK/AB[/math]

dovrà dare per risultato

[math]12/25[/math]

.

[math]HK/AB = 12/25[/math]

[math]HK = 12/25*AB = 12/25*4 = 48/25[/math]

Fine esercizio.

[Max 2433/BO]

Si tratta di individuare la similitudine dei triangoli: ABC, BHC e HKB.

I triangoli ABC e BHC sono simili perchè hanno gli angoli corrispondenti congruenti:

Angolo CHB = Angolo CBA, entrambi retti per costruzione,

Angolo BCH = Angolo BCA in comune

e di conseguenza l'angolo CBH è uguale all'angolo BAC

Essendo simili possiamo metterne in proporzione i lati:

BC:AC = BH:BA

prima di ricavare BH da questa proporzione, applichiamo il teorema di pitagora al triangolo ABC per ricavare AC:

AC = sqr (AB^2 + BC^2) = sqr (4^2 + 3^2) = sqr 25 = 5

quindi ricaviamo BH

BH = (BC * BA)/AC = (3 * 4)/5 = 12/5

Anche i triangoli BHC e HKB sono simili in quanto hanno gli angoli corrispondenti congruenti:

Angolo CHB = Angolo HKB, entrambi retti per costruzione

Angolo CBH = Angolo BHK, perchè angoli alterni interni di due parallele ( BC e HK sono tra loro paralleli perchè sono entrambi perpendicolari ad AB)

e di conseguenza anche gli angoli BCH e HBK sono uguali.

Anche in questo caso possiamo metterne, quindi, i lati in proporzione:

BH:BC = HK:BH

ricaviamo HK

HK = BH^2/BC = (12/5)^2/3 = (144/25)/3 = 48/25

... Ecco fatto.

:hi

Massimiliano

Aggiunto 1 minuto più tardi:

...Dannazione!!! Ho scritto troppo lentamente!!!

:lol :lol

:hi Ali Q... alla prossima

Massimiliano