Problema di geometria (78819)
IL PUNTO M DEL SEGMENTO AB DISTA 5 CM DA B E 15 CM DA A; IL PUNTO P DI AM ED IL PUNTO Q DI MB SONO TALI CHE PM=2 per MQ. DETERMINA LA MISURA DEL SEGMENTO PQ SAPENDO CHE AP:PM=MQ:QB (PORRE MQ=X) RISULTATO [9]
NEL TRIANGOLO ACUTANGOLO ABC IL LATO AB MISURA 15 CM. PRESO SU AB IL PUNTO D TALE CHE AD = 2 PER DB, SI HA AC=CD . DETERMINA I PERIMETRI DEI TRIANGOLI ABC E BCD SAPENDO CHE IL LORO RAPPORTO è QUATTRO TERZI . RISULTATO [40;30]
NEL TRIANGOLO ACUTANGOLO ABC IL LATO AB MISURA 15 CM. PRESO SU AB IL PUNTO D TALE CHE AD = 2 PER DB, SI HA AC=CD . DETERMINA I PERIMETRI DEI TRIANGOLI ABC E BCD SAPENDO CHE IL LORO RAPPORTO è QUATTRO TERZI . RISULTATO [40;30]
Risposte
1)posto MQ=x, si ha PM=2x (quindi PQ=3x) AP=15-2x; QB=5-x
impostiamo quindi la proporzione data nel testo
2) DB è un terzo di AB quindi AB=5 cm, mentre AD=2*AD=10
chiamo AC=CD=x e CB=y
quindi il perimetro di ABC è x+y+15=40 e quello di CDB è x+y+5=30
impostiamo quindi la proporzione data nel testo
[math]\frac{15-2x}{2x}= \frac{x}{5-x} [/math]
[math]\frac{(15-2x)(5-x)}{2x(5-x)}= \frac{2x^2}{2x(5-x)} [/math]
[math]\frac{(75-25x+2x^2}{2x(5-x)}= \frac{2x^2}{2x(5-x)} [/math]
[math]25x=75[/math]
quindi x=3 e PQ=3x=92) DB è un terzo di AB quindi AB=5 cm, mentre AD=2*AD=10
chiamo AC=CD=x e CB=y
[math]\frac{15+x+y}{x+y+5}= \frac{4}{3} [/math]
[math]\frac{3(15+x+y)}{3(x+y+5)}= \frac{4(x+y+5)}{3(x+y+5)} [/math]
[math]45+3x+3y=20+4x+4y[/math]
[math]x+y=25[/math]
quindi il perimetro di ABC è x+y+15=40 e quello di CDB è x+y+5=30
Ciao, Antonio!
Ecco le soluzioni dei tuoi problemi:
1) Dunque AB = AM + MB:
Il problema ci dice che MB = 5 cm (distanza di M da B) e che AM = 15 cm (diatanza di M da A)
Quindi AB = 15 + 5 = 20 cm, anche se per la risoluzione del problema, in effetti, questo dato non ci interessa.
Traccio poi su AM e MB i generici punti P e Q.
So che PM = 2x MQ, o come ci suggerisce il problema PM = 2 x X (dove con X si è indicato MQ).
Posso intanto scrivere che PQ = PM + MQ = PM + X
Quindi, sapendo che PM = 2 x MQ posso anche scrivere che PQ = 2MQ + MQ = 3 MQ = 3 X.
Se trovo MQ, posso dunque trovare anche la soluzione del problema.
Si sa poi che: AP:PM=MQ:QB
Si sa però che:
AP = AM - PM = 15 - 2 MQ = 15 - 2X;
PM = 2 x MQ = 2 X.
MQ = X.
QB = MB - MQ = 5 - X.
La proporzione precedente diventa allora: (15 - 2X) : 2X = X: (5-X)
Sapendo che nelle proporzioni il prodotto dei medi è uguale a quello degli etsremi, scrivo che: (15-2X)(5-X) = 2X^2
Ovvero: 75 -15 X -10X + 2X^2 = 2 X^2.
Ovvero: -25 X + 75 =0
X = -75/-25 = 3 cm.
Poichè PQ = 3 x X = 3 x 3 = 9 cm.
2) AB = AD + DB = 15 cm
Si sa poi che AD = 2 DB.
La prima equazione diventa: 2DB + DB = 15 cm
Ovvero: 5 DB = 15
DB = 5 cm.
Poichè AD = 2DB, AD = 2 x 5 = 10 cm.
Scrivo le formule dei perimetri dei due traingoli:
P ABC = AB + AC + CB = 15 + AC + CB
P BCD = DB + CD + CB = 5 + CD + CB
Ma poichè AC = CD, posso scrivere: P BCD = 5 + AC + CB
Ne risulta –da un confronto tra le due formule, che P BCD = P ABC -10
So che poi che P ABC/P BCD = 4/3
Cioè: P ABC = 4/3 P BCD
Sostituisco questo valore di P ABC nella formula precedente:
P BCD = 4/3 P BCD –10
Ne risulta: P BCD - 4/3 P BCD = –10
Cioè: -P BCD + 4/3 P BCD = 10
Cioè 1/3 P BCD = 10
P BCD = 10 x 3 = 30 cm.
P ABC era invece pari a 4/3 P BCD, cioè 4/3 x 30 = 40 cm.
Fine. Ciao!
Aggiunto 5 minuti più tardi:
Ah, vedo che Bimbozza aveva già postato la soluzione, chiedo scusa!
Be', pazienza. Antonio, io comunque ti lascio anche la mia, perchè ti ho riportato tutti quanti i passaggi da eseguire, quindi, caso mai ti servisse per capire meglio, puoi darle un'occhiata.
Ciao, Bimbozza, sei sempre bravissima! Ti do il mio voto!
Ecco le soluzioni dei tuoi problemi:
1) Dunque AB = AM + MB:
Il problema ci dice che MB = 5 cm (distanza di M da B) e che AM = 15 cm (diatanza di M da A)
Quindi AB = 15 + 5 = 20 cm, anche se per la risoluzione del problema, in effetti, questo dato non ci interessa.
Traccio poi su AM e MB i generici punti P e Q.
So che PM = 2x MQ, o come ci suggerisce il problema PM = 2 x X (dove con X si è indicato MQ).
Posso intanto scrivere che PQ = PM + MQ = PM + X
Quindi, sapendo che PM = 2 x MQ posso anche scrivere che PQ = 2MQ + MQ = 3 MQ = 3 X.
Se trovo MQ, posso dunque trovare anche la soluzione del problema.
Si sa poi che: AP:PM=MQ:QB
Si sa però che:
AP = AM - PM = 15 - 2 MQ = 15 - 2X;
PM = 2 x MQ = 2 X.
MQ = X.
QB = MB - MQ = 5 - X.
La proporzione precedente diventa allora: (15 - 2X) : 2X = X: (5-X)
Sapendo che nelle proporzioni il prodotto dei medi è uguale a quello degli etsremi, scrivo che: (15-2X)(5-X) = 2X^2
Ovvero: 75 -15 X -10X + 2X^2 = 2 X^2.
Ovvero: -25 X + 75 =0
X = -75/-25 = 3 cm.
Poichè PQ = 3 x X = 3 x 3 = 9 cm.
2) AB = AD + DB = 15 cm
Si sa poi che AD = 2 DB.
La prima equazione diventa: 2DB + DB = 15 cm
Ovvero: 5 DB = 15
DB = 5 cm.
Poichè AD = 2DB, AD = 2 x 5 = 10 cm.
Scrivo le formule dei perimetri dei due traingoli:
P ABC = AB + AC + CB = 15 + AC + CB
P BCD = DB + CD + CB = 5 + CD + CB
Ma poichè AC = CD, posso scrivere: P BCD = 5 + AC + CB
Ne risulta –da un confronto tra le due formule, che P BCD = P ABC -10
So che poi che P ABC/P BCD = 4/3
Cioè: P ABC = 4/3 P BCD
Sostituisco questo valore di P ABC nella formula precedente:
P BCD = 4/3 P BCD –10
Ne risulta: P BCD - 4/3 P BCD = –10
Cioè: -P BCD + 4/3 P BCD = 10
Cioè 1/3 P BCD = 10
P BCD = 10 x 3 = 30 cm.
P ABC era invece pari a 4/3 P BCD, cioè 4/3 x 30 = 40 cm.
Fine. Ciao!
Aggiunto 5 minuti più tardi:
Ah, vedo che Bimbozza aveva già postato la soluzione, chiedo scusa!
Be', pazienza. Antonio, io comunque ti lascio anche la mia, perchè ti ho riportato tutti quanti i passaggi da eseguire, quindi, caso mai ti servisse per capire meglio, puoi darle un'occhiata.
Ciao, Bimbozza, sei sempre bravissima! Ti do il mio voto!
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