Problema di geometria.

jellybean22
Buona sera a tutti, non riesco a finire questo problema:

Nel triangolo rettangolo $ABC$ il cui baricentro è $G$, il cateto $AB$ e l'ipotenusa $BC$ misurano $cm$ $27$ e $cm$ $45$. La perpendicolare in $A$ ad $AG$ interseca in $P$ la retta condotta da $G$ perpendicolarmente ad $AC$. Detto $Q$ il punto comune ad $AC$ e $GP$, provare che $AB=3*GQ$ e determinare il perimetro dei triangoli $AGQ$ ed $AGP$.

Comincio a dire che la dimostrazione ovvero quella di dimostrare che $AB=3*GQ$ va presa in considerazione come già fatta poiché il mio prof ha detto che va dimostrata con un teorema da noi ancora non studiato.

Svolgimento:


Avendo BC ed AB trovo con il teorema di pitagora AC:
$AC=36cm$
Dopodiché sapendo che $AB=3GQ$ trovo $GQ$:
$GQ=27:3=9$
Trovo BM sapendo che è metà ipotenusa:
$BM=22,5$

Adesso il mio prof aveva suggerito di dare il valore x a QN solamente che io dando il valore x a QN non sono riuscito a trovare la x per cui ho cambiato strada:

Dopo aver trovato una formula su un libro su come trovare la mediana AM ho applicato quest'ultima:
AM=$1/2sqrt[2(36^2+27^2)-45^2]=22,5$
se AM=BM allora i triangoli ABM ed AMC sono rispettivamente isosceli.

Trovo AG secondo la proprietà delle mediane:
$AG= 2/3*22,5=15$
Quindi $GM=7,5$
Trovo AQ con pitagora
$AQ=12$
Trovo il perimetro di ABC:
$P=27+36+45=108$
Adesso avendo il perimetro di ABC applico erone su ABC per trovare l'area e successivamente AH ovvero l'altezza:

$A=sqrt[54(54-27)(36-27)(45-27)]=486$
trovo AH con la formula $(A*2)/(Base)$
$AH=21,6$
Trovo HM con pitagora:
$HM=6,3$
Trovo BH utilizzando pitagora:
$BH=16,2$
e finalmente posso trovare il perimetro del triangolo AGQ
$PAGQ=9+12+15=36$

Da qui in poi non so come fare per trovare il perimetro del triangolo AGP... preciso che non ho fatto ancora le similitudini...
Scusate la lunghezza del testo.
Ed infine volevo sapere se sarebbe stata più comoda la strada suggeritami dal mio prof...



Grazie a tutti...

Risposte
Sk_Anonymous
Puoi trovare AM senza ricorrere alla formula della mediana ( che probabilmente non hai ancora dimostrato).
Osserva che la circonferenza di diametro BC ( e quindi di centro M ) deve passare per A.
Ed allora AM è raggio e dunque uguale alla metà di BC : $AM=(BC)/2= 45/2$ Ne segue:
$AG=2/3*AM=2/3*45/2=15, GQ=1/3*AB=1/3*27=9$
Hai trovato con Pitagora $AQ=12$ e pertanto calcoli il perimetro di AGQ =9+12+15=36
Non ti serve nemmeno calcolare AH.
Per calcolare il perimetro di AGP ti basta osservare che il triangolo AGP è rettangolo in A
e per il 1° teorema di Euclide hai:
$AG^2=PG*GQ$ da cui $PG=(15^2)/9=25$
Successivamente applichi Pitagora ed hai :
$AP=sqrt(PG^2-AG^2)=sqrt(625-225)=20$ e da qui il perimetro di APG =60

jellybean22
Un attimo silvano, lo faccio e tifaccio sapere, grazie della risposta :D

jellybean22
Grazie Silvano!! :D :D
grazie mille..!!

A presto.. ciao!!

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