Problema di geometria (45596)

[zaraja]

un triangolo equilatero ABC ha area 2304√3m^2. A partire da ogni vertice e sempre nello stesso senso prendi tre segmenti congruenti AD BE CF.Congiungendo D con E, E con F, F con D si ottiene un nuovo triangolo equilatero, di area 1008√3m^2.Determina le lunghezze dei due segmenti in cui è diviso ogni lato del triangolo equilatero ABC.
Per risolverlo ho posto che i tre triangoli ADF DBE CFE sono tra loro congruenti,poi posto 2304√3 : 1008√3 = AC^2 : FE^2 .Pongo AC^2=x FE^2=y ma non riesco a trovare le due equazioni in x ed y . I risultati sono:24m 72m Grazie a chiunque voglia aiutarmi.

[BIT5]

Consideriamo che i 3 triangoli che si formano hanno:

un lato congruente (sono i segmenti AD, BE, CF, congruenti per ipotesi)
l'altro lato congruente (e' la differenza tra il lato del triangolo equilatero ABC e i 3 segmenti congruenti);
l'angolo compreso tra questi due segmenti, congruente (e' l'angolo del triangolo equilatero, ovvero 60 gradi).

Considera ora il triangolo ABC: esso e' equilatero; sappiamo che l'altezza di un triangolo equilatero, e' cateto maggiore del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato del triangolo equilatero, e come cateto minore, meta' del lato del triangolo equilatero.

quindi l'altezza di un triangolo equilatero qualunque, e' sempre:

[math] h= \sqrt{l^2- \( \frac{l}{2} \)^2}= \frac{l}{2} \sqrt3 [/math]

Pertanto l'Area del triangolo equilatero, sara'

[math] \frac{l \cdot \frac{l}{2} \sqrt3}{2}= \frac{l^2 \sqrt3}{4} [/math]

Il problema ci dice che l'area del triangolo ABC e'

[math] 2304 \sqrt3 [/math]

e dunque

[math] \frac{l^2 \no{\sqrt3}}{4}=2304 \no{\sqrt3} \to l^2=9216 \to l=96 [/math]

Grazie allo stesso procedimento avrai il lato del triangolo equilatero interno.

A questo punto, posto x il segmento AD (e pertanto DB=AF sara' 96-x) grazie al teorema di Carnot porrai:

[math] \bar{FD}= \sqrt{\bar{AD}^2+ \bar{AF}^2-2 \bar{AD} \bar{AF} \cos 60 } [/math]

Da cui ricaverai il valore di x