Problema di geometria 2°Liceo scient su equzioni irrazionali e circonferenze

[misterkappa619xx]

Data una semicirconferenza di diamentro AB=2r, determinare la misura x del raggio di una circonferenza tangente in D al diametro AB e in E alla semicirconferenza in modo che, detto C il suo centro, si abbia AD+DC+CE=5/4 r
Soluzione: AD= r/2, CD= 3/8 r

Aggiunto 1 ore 19 minuti più tardi:

Secondo me c'è un errore nel testo,come fa a essere una circonferenza tangente al diametro AB di una semicirconferenza e poi alla semicirconferenza stessa?

[BIT5]

Non l'ho ancora fatto ma l'errore non c'e' se e' quello che pensi tu

Fai una semicirconferenza, e disegna dentro di essa una circonferenza.
Come vedi puoi disegnare una circonferenza tangente sia al diametro che alla semicirconferenza :)

La soluzione te la posto domani, a meno che qualcuno non intervenga prima

Aggiunto 15 ore 15 minuti più tardi:

per quanto riguarda il disegno, guarda qua

http://matematicamica.xoom.it/mat_didat/geometria%20del%20piano/pro_4.pdf

Aggiunto 10 minuti più tardi:

Per la soluzione....

considera la retta esterna alla circonferenza di centro C. Questa retta tangente alla circonferenza di centro C (nel disegno del link, la retta t) e' anche tangente alla semicirconferenza (se due curve sono tangenti, condividono la stessa tangente)

Il raggio che unisce il centro di una circonferenza al punto di tangenza, e' perpendicolare alla retta tangente. E siccome le due circonferenze condividono la tangente, avranno un raggio ad essa perpendicolare.

Pertanto potrai tracciare il raggio EO (O e' il centro della semicirconferenza), che passera' necessariamente per il centro C della circonferenza interna.

Sappiamo che OE=r (meta' del diametro) e, come suggerisce il problema, che EC=x

Peranto avremo che

[math] \bar{CO}=\bar{EO}-\bar{EC} = r-x [/math]

Considera ora il triangolo CDO. Esso e' rettangolo (CD e' il raggio perpendicolare alla tangente AB) e di esso conosciamo l'ipotenusa CO (r-x) e il cateto CD (x)

Con Pitagora calcoliamo DO:

[math] \bar{DO} = \sqrt{(r-x)^2-x^2} = \sqrt{r^2-2rx+x^2-x^2} = \sqrt{r^2-2rx} [/math]

E pertanto AD che e' la differenza tra AO e DO sara'

[math] \bar{AD} = r- \sqrt{r^2-2rx} [/math]

(non ho discusso i casi limite... comunque li ritrovi qua, in quanto la radice ha significato per

[math] 0 \le x \le \frac{r}{2} [/math]

(maggiore o uguale a zero perche' siamo in geometria e x e' la lunghezza del raggio, minore o uguale a r/2 per radicando maggiore o uguale a zero)

Sostituendo alla relazione avrai dunque (EC e CD sono due raggi quindi x)

[math] r- \sqrt{r^2-2rx} + x + x = \frac54 r [/math]

Porto la radice a destra (cosi' diventa positiva) e il resto a sinistra

[math] r+2x- \frac54 r = \sqrt{r^2-2rx} [/math]

ovvero

[math] - \frac{r}{4} + 2x= \sqrt{r^2-2rx} [/math]

Elevo al quadrato

[math] \frac{r^2}{16} + 4x^2-rx=r^2-2rx [/math]

Da cui, sommando e minimo comune multiplo (16) ottengo

[math] 64x^2+16rx-15r^2=0 [/math]

che dara' una soluzione negativa e una

[math] x=\frac38r [/math]

Puoi dunque calcolare anche AD

Se hai dubbi chiedi :)