Problema di geometria (246559)

[nicola.pasinelli10]

Dato un punto P esterno a una circonferenza di centro O traccia: una retta passante per P e tangente alla circonferenza indicando con A il punto di contatto; la retta PO che incontra la circonferenza in B e C ( con B compreso fra Poco e C). Dimostra che l'angolo APB=1/2( AÔC-AÔB angoli)

[Studente Anonimo]

Ciao,
le ipotesi sono:
PA tangente in A alla circonferenza;
PO incontra la circonferenza in B e C;
Dobbiamo dimostrare che (tesi):
APB= 1/2(COA- AOP).

Cominciamo per prima cosa ad unire il centro O della circonferenza con il punto di tangenza A .
Osserviamo che COA è un angolo esterno al triangolo rettangolo OAP,retto in A.
Sappiamo, dal teorema sui triangoli, che l'angolo esterno è pari alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso.
Per cui avremo:
COA = OAP + APO
essendo AOP = 90°
possimo scrivere:
COA= 90° + APO (1)

Inoltre nel triangolo rettangolo OAP avremo:

AOP + APO= 90°
da cui
AOP = 90° - APO (2)

Sottraendo membro a membro la (2) dalla (1) , si ottiene :

Cao -AOP = 90° + APB - 90° + APB ;
CAO - AOP = 2 APB
dividendo ambo i membri per 2
(CAO - AOP)/2 = APB
cioè
APB = 12/(CAO - AOP)

c.v.d

saluti :-)

[nicola.pasinelli10]

Grazie mille