Problema di geometria

[teresa cimmino]

sono dati nel piano xoy i punti A(1/2,0) B(5/2,0) c(1,1);si scriva l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse delle y passante per i punti A,B e C e se ne detemini il vertice V e dtta D la proiezione di C sull'asse delle x si scriva l'equazione della retta r passante per B e perpendicolare alla retta DV: sia E il punto di r di ascissa x=1.Determinare sull'arco di parabola CB un punto P tale che sia K il rapporto tra le aree del quadrilatero PBDC e del triangolo EDB

[crsclaudio]

I punti A e B sono soluzione dell'aquazione della parabola perchè si trovano sull'asse delle x. Quindi:
y = a*(x-1/2)*(x-5/2)
imponendo le condizioni di passaggio per il punto C è possibile determinare a=-4/3.
Quindi: y(x)=-1/3*(2x-1)*(2x-5)
Nota l'equazione della parabola nella forma: y=ax^2+bx+c
le coordinate del vertice sono date da V=(-b/2a;-Delta/4a) da cui:
V=(3/2;4/3)

L'equazione di una generica retta passante per un punto è data da:
y-y0=m*(x-x0) quindi per B ===> y=m*(x-5/2)
Il coefficiente angolare è l'opposto del reciproco di quello della retta che passa per DV. D=(1,0)
mDV=(yV-yD)/(xV-xD)=(4/3)/(1/2)=8/3 ===> m=-1/mDV=-3/8
quindi l'equazione della retta cercata: y=-3/8*(x-5/2)
E=(1;9/16)

A(EBD)=1/2*3/2*9/16=27/64
A(PBDC)=A(DPB)+A(DCP)=1/2*3/2*y+1/2*x*1=3/4*(-4/3*x^2+4x-5/3)+x/2

A(PBDC)=-x^2+7/2*x-5/4 con x che varia tra 1 e 5/2

A(PBDC)/A(EBD)=k

-x^2+7/2*x-5/4=k*27/64

risolta questa equazione in funzione di x e sostituito il valore nell'equazione della parabola, si determinano le coordinate del punto