Problema di geometria

[Duch1]

Ciao


Il perimetro di un triangolo ABC isoscele sulla base AB è 144cm e il lato BC supera la base di 12cm. Determinare i tre lati. Dal punto P di Ab tale che AP=7/13PB, si conducano le perdicolari PH e PK rispettivamente ai lati BC ed AC. Determinare il perimetro dei triangoli AKP e PHB.
[2p AKP=420/13 cm]

Non so come farlo: mi trovo i lati del triangolo ABC (72,72,60), poi i segmenti AP e PB (21,39)... e poi cosa faccio?
grazie mille in anticipo

[fireball1]

Per trovare il lato obliquo e la base, si può impostare il seguente sistema (chiamando la base x e il lato obliquo y):

{x+2y=144
{y=x+12

e si trova facilmente x = 40 e y = 52

I segmenti AP e PB si possono trovare con il seguente sistema (AP=t, PB=z):

{t+z=40
{t=(7/13)z

e si ottiene, sostituendo nella prima equazione, t = 14 e z = 26

Calcoliamo il seno degli angoli alla base congruenti CAB e ABC.
Per farlo, determiniamo l'altezza del triangolo isoscele con Pitagora:
altezza=sqrt(52²-20²)=sqrt(2304)=48
Allora è sin(CAB)=sin(ABC)=48/52=12/13 e cos(CAB)=cos(ABC)=20/52=5/13
Quindi AK=AP*cos(CAB)=14*(5/13)=70/13, e KP=AP*sin(CAB)=14*(12/13)=168/13
Allora il perimetro di AKP è: 168/13+70/13+14=420/13
Per calcolare il perimetro di PHB si procede analogamente:
PH=PB*sin(ABC)=26*(12/13)=24
HB=PB*cos(ABC)=26*(5/13)=10
Quindi il perimetro è: 26+24+10=60

[WonderP1]

Puoi risolvere il problema anche senza passare dal calcolo degli angoli.
Sia CJ l'altezza del triangolo ABC, si può osservare che i triangoli AJC AKP e BHP sono simili, hanoo infatti un angolo retto e l'angolo in A in comune (per il triangolo BHP si deve ricordare che l'angolo in B è uguale all'angolo in A perché angoli alla base di un triangolo isoscele). Quindi hanno i lati in proprozione; di AJC conosciamo il perimetro (40/2)+52+48=120 dei triangoli piccoli conosciamo l'ipotenusa.
Impostiamo la similitudine per il triangolo AKP
x : 120 = 14 : 52
risolvendo x=420/13
stessa cosa per il triangolo BHP
x : 120 = 26 : 52
si trova x=60



WonderP.