Problema di geometri analitica , entro per favore, Grazie

[Alberto_re]

Domani ho compito e non ho capito questo problema:(
In un piano cartesiano oxy sono dati A(2;4) B(10;0):
1) Dimostrare che oab è rettangolo;
2) determina il quarto vertice del parallelogramma avente come vertici consecutivi i punti oba e diagonale oa e calcolare l'area.
3) scrivere l'equazione della circonferenza circoscritta al triangolo oab
4) scrivere l'equazionr della parabola con asse parallelo a y e tangente in o alla retta oa e passante per B.

[mc2]

1) Calcoliamo i lati del triangolo OAB

[math]OA=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}[/math]

[math]OB=10[/math]

[math]AB=\sqrt{(10-2)^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}[/math]

Osserviamo che

[math]OB^2=AB^2+OA^2[/math]

, cioe` vale il teorema di Pitagora, quindi OAB e` rettangolo con ipotenusa OB


2) Scriviamo le equazioni della retta parallela ad OB e passante per A (retta r) e di quella parallela ad AB e passante per O (retta t). La loro intersezione sara` il quarto vertice del parallelogramma.


retta r:

[math]y=4[/math]

(retta orizzontale)

retta t:

[math]y=\frac{4-0}{2-10}x=-\frac{1}{2}x[/math]

Quarto vertice:

[math]D=(-8,4)[/math]

Il parallelogramma ha base

[math]b=OB=10[/math]

e la sua altezza e` l'ordinata di A

[math]h=4[/math]

.

Area=

[math]bh=40[/math]

3) Siccome OAB e` rettangolo si puo` inscrivere in una semicirconferenza con il diametro coincidente con la sua ipotenusa. Il diametro quindi e` OB ed il centro della circonferenza e` il punto medio di OB:

[math]C=(5,0)[/math]

.

Il raggio e` la distanza OC:

[math]R=5[/math]

Circonferenza circoscritta ad OAB:

[math](x-5)^2+y^2=25[/math]

3) parabola generica:

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

Deve passare per O:

[math]0=c[/math]

Deve passare per B:

[math]0=100a+10b[/math]

cioe`

[math]b=-10a[/math]

retta OA:

[math]y=2x[/math]

Deve essere tangente ad OA:

[math]\left\{\begin{array}[c]{l}
y=ax^2-10ax \\
y=2x \end{array}\right.
[/math]

[math]ax^2-10ax-2x=0[/math]

Il discriminante deve essere nullo:

[math]10a+2=0[/math]

,

[math]a=-\frac{1}{5}[/math]

Di conseguenza

[math]b=2[/math]

e la parabola richiesta e`:

[math]y=-\frac{x^2}{5}+2x[/math]