Problema di esame geometrico.

[Marco241]

In un piano cartesiano ortogonale si considerino la circonferenza di centro nell'origine degli assi e raggio r e le parabole aventi per asse di simmetria l'asse delle ordinate e tangenti alla stessa circonferenza ciascuna in due punti la cui retta congiungente abbia dal centro distanza uguale alla metà del raggio.Si calcoli l'area della regione finita di piano delimitata dalla circonferenza e da una delle due parabole ottenute.(Sessione suppletiva 1987-88).

NOTA:DA RISOLVERSI CON CONOSCENZE DA TERZO LICEO.

SVOLGIMENTO:

il problema l'avrei risolto senza difficoltà solo che nel calcolo dell'area faccio un piccolo errore e non riesco a capirlo.

Il calcolo per trovare le due parabole è noioso e ve lo risparmio( ):

$y=-1/r*x^2+5/4*r$

e

$y=1/r*x^2-5/4*r$

come si osserva le due paraboli sono uguali:infatti i coefficienti del primo termine elevato al quadrato sono uguali e opposti in segno.

Sposto l'attenzione sulla parabola:


$y=1/r*x^2-5/4*r$

la metto in intersezione con la circonferenza:

$x^2+y^2=r^2$

da questa intersezione trovo i punti

$P_1(sqrt(3)/2*r;-r/2)$

e

$P_2(-sqrt(3)/2;-r/2)$

Mi trovo vertice,fuoco e direttrice di questa parabola.

$V(0;-5/4*r)$

$F(0;-r)$

$y=-3/2*r$

Adesso per calcolare la porzione di spazio compresa tra $P_1P_2V$,cioè il segmento parabolico,applico il teorema di Archimede ottenendo:

$A_1=sqrt(3)/2*r^2$.

Mi calcolo l'area del settore circolare privato dell'angolo di 120 gradi.infatti il triangolo che unisce il punto $O$ con i punti di intersezione della parabola con la circonferenza è isoscele e l'angolo al vertice è di 120 gradi.Quindi:

$A_2=2/3*pi*r^2$

.Infine aggiungo l'area del triangolo isoscele:

$A_3=sqrt(3)/4*r^2$

sommando tutto ottengo:

$A_1+A_2+A_3=3/4*sqrt(3)*r^2+2/3*pi*r^2$

Il risultato del libro è invece:

$3/4*sqrt(3)*r^2-pi/3*r^2$

Consigli? Dove sbaglio?

[chiaraotta1]

L'area cercata è quella della regione compresa tra l'arco di parabola $P_1VP_2$ e l'arco di cerchio $P_1P_3P_2$.



Per calcolarla basta calcolare l'area $S_1$ del segmento parabolico $P_1VP_2$, quella $S_2$ del settore circolare $P_1OP_2$ (il minore) e quella $S_3$ del triangolo $P_1OP_2$.
L'area cercata sarà $S=S_1-(S_2-S_3)$.
Ora
$S_1= sqrt(3)/2*r^2$ (Teorema di Archimede),
$S_2=1/3*pi*r^2$ ($1/3$ dell'area del cerchio),
$S_3=bar(OP_4)*bar(P_4P_1)=r/2*r/2*sqrt(3)=sqrt(3)/4*r^2$.
Quindi
$S=S_1-(S_2-S_3)=sqrt(3)/2*r^2-(1/3*pi*r^2-sqrt(3)/4*r^2)=sqrt(3)/2*r^2-1/3*pi*r^2+sqrt(3)/4*r^2=$
$3/4*sqrt(3)*r^2-1/3*pi*r^2$.

[Marco241]

mannaggia! Che svista! Era il pezzo più "piccolo" da calcolare.Grazie Chiarotta.