Problema di discussione con la parabola

[Marco241]

E' data la parabola $y=-x^2+5x-4$. Dette A e B le sue intersezioni con l'asse x ($bar(OA)
a)l'equazione della retta tangente alla parabola e parallela alla retta BC e le coordinate del punto T di contattoFATTO;

b)una parallela all'asse x in modo,che,dette P e Q le sue intersezioni con la parabola e P' e Q' le rispettive proiezioni sull'asse x,risulti

$(k-1)bar(PQ)^2+kbar(PP')^2=k$ HO RISOLTO MA HO DEI DUBBI

SVOLGIMENTO PUNTO B)

Secondo me bisogna considerare due casi:

$y=|h|$

Perchè il modulo?Perchè devo considerare le rette che stanno AL DI SOPRA dell' asse x e AL DI SOTTO di esso.

Se h è positivo il massimo valore che può raggiungere è $9/4$ che poi è l'ordinata del vertice della parabola.Al di sopra di tale valore non c'è intersezione.

Mi vengono i seguenti punti assieme a quelli proiettati sull'asse x:

$P((5-sqrt(9-4h))/2;h)$

$Q((5+sqrt(9-4h))/2;h)$

$P'((5-sqrt(9-4h))/2;0)$

$Q'((5+sqrt(9-4h))/2;0)$

dopodichè ottengo:

$bar(PQ)=sqrt(9-4h)$

$bar(PP')=|h|$

e mi ricavo il sistema:

$(k-1)|9-4h|+kh^2=k ,k in R$

$0<=h<=9/4$

adesso quel modulo nell'equazione lo posso togliere.Infatti h non può andare al di sopra di 9/4 è ciò rende il tutto molto più semplice:quella differenza sarà sempre positiva.

in definitiva mi viene:

$0<=k<=(1+sqrt(65))/8$

che poi è la soluzione del libro.

Però perchè esclude il caso $y=-h$?

Ripeto lo stesso ragionamento che ho effettuato in precedenza faccio:

$y=-x^2+5x-4$

$y=-h$

mi ricavo i punti P e Q,li proietto sull'asse x e impongo la condizione $y<=0$

Perchè il libro la esclude? Forse l'equazione viene assurda?

[giammaria2]

Non vedo alcun motivo per distinguere fra rette al di sopra e al di sotto dell'asse $x$ e parto con $y=h$; arrivo comunque alla tua equazione con la limitazione $h<=9/4$ e ne consegue la tua soluzione.
Se, in un altro problema, questa distinzione fosse stata necessaria avresti dovuto comunque partire nello stesso modo e solo al momento della necessità distinguere per il segno di $h$ ma non come hai fatto tu: $y=|h|$ rappresenta solo le rette al di sopra dell'asse $x$ e $y=-h$ può essere ovunque perché $h$ può avere qualsiasi segno. Ad esempio, se il problema fosse stato "... in modo che risulti $k*PP'+PQ=k$ " si sarebbe comunque iniziato con $y=h$ ma l'equazione sarebbe stata $k*|h|+sqrt(9-4h)=k$ e solo a quel punto distinguevi a seconda del segno di $h$ (non tentare i calcoli: è un esempio appena inventato ma non controllato e potrebbe anche risultare assurdo o complicatissimo)

[Marco241]

ok grazie Giammaria!

Hai ragione h può essere qualsiasi cosa anche un numero negativo quindi non ha senso quella distinzione.