Problema di derivate
Salve a tutti, chiedo il vostro aiuto su un problema che non mi viene!
Sono date la funzioni f(x)=xln(1/X) e g(x)=[f(x)]^2+2f(x)
1)Giustifica che fx è una funzione derivabile in R+ e trova la sua derivata prima
2)Giustifica che gx è derivabile in R+ e che la derivata prima è uguale a : 2f'(x)[f(x)+1]
3) dimostra che le tangenti ai grafici di f(x) e g(x) nel punto x=1/e sono parallele e che esoste solo un altro punto in cui i due grafici hanoo la tangente parallela.
Dunque vi espongo come ho pensato di risolverlo:
1)fx è continua in tutto R+ in quanto il campo di esistenza è x>0, esiste in tutto R+ inoltre la derivata destra e sinistra sono uguali e finite dunque è derivabile
Poi calcolo la derivata ed è f'(x)=ln(1/X)+X^2
2) Per gli stessi motivi di fx anche gx è derivabile in R+ la sua derivata è effetivamente g'(x)=2f'(x)[f(x)+1]
3) con il terzo punto vengono i problemi, avevo pensato di risolverlo così : se le tangenti devono essere parallele allore esse dovranno avere uguali coefficienti angolari, detto ciò so anche che la derivata prima in un punto è anche uguale al coefficiente angolare della retta tangente in quel punto!
Quindi calcolo la derivata prima di fx nel punto x=1/e f'(1/e)=1+(1/e)^2
Poi la derivata prima di gx nel punto x=1/e g'(1/e)=(2+2/(e)^2)(1/e+1)
Le due derivate non sono uguali e se le derivate sono uguali ai coefficienti angolari delle rette tangenti queste nel punto x=1/e non sono parallele!
A questo punto ho sbagliato qualche cosa perchè dovrei dimostrare il contrario..e poi come affronto il problema di dimostrare che esiste solo un altro punto in cui sono parallalele ?
Ho scritto un posto un po' lungo ma ho cercato di spiegare per bene le difficoltà e come ho tentato di risolvere
spero in una vostra illuminazione!
Sono date la funzioni f(x)=xln(1/X) e g(x)=[f(x)]^2+2f(x)
1)Giustifica che fx è una funzione derivabile in R+ e trova la sua derivata prima
2)Giustifica che gx è derivabile in R+ e che la derivata prima è uguale a : 2f'(x)[f(x)+1]
3) dimostra che le tangenti ai grafici di f(x) e g(x) nel punto x=1/e sono parallele e che esoste solo un altro punto in cui i due grafici hanoo la tangente parallela.
Dunque vi espongo come ho pensato di risolverlo:
1)fx è continua in tutto R+ in quanto il campo di esistenza è x>0, esiste in tutto R+ inoltre la derivata destra e sinistra sono uguali e finite dunque è derivabile
Poi calcolo la derivata ed è f'(x)=ln(1/X)+X^2
2) Per gli stessi motivi di fx anche gx è derivabile in R+ la sua derivata è effetivamente g'(x)=2f'(x)[f(x)+1]
3) con il terzo punto vengono i problemi, avevo pensato di risolverlo così : se le tangenti devono essere parallele allore esse dovranno avere uguali coefficienti angolari, detto ciò so anche che la derivata prima in un punto è anche uguale al coefficiente angolare della retta tangente in quel punto!
Quindi calcolo la derivata prima di fx nel punto x=1/e f'(1/e)=1+(1/e)^2
Poi la derivata prima di gx nel punto x=1/e g'(1/e)=(2+2/(e)^2)(1/e+1)
Le due derivate non sono uguali e se le derivate sono uguali ai coefficienti angolari delle rette tangenti queste nel punto x=1/e non sono parallele!
A questo punto ho sbagliato qualche cosa perchè dovrei dimostrare il contrario..e poi come affronto il problema di dimostrare che esiste solo un altro punto in cui sono parallalele ?
Ho scritto un posto un po' lungo ma ho cercato di spiegare per bene le difficoltà e come ho tentato di risolvere
spero in una vostra illuminazione!
Risposte
per quanto riguarda il punto 3, a me le 2 derivate calcolate in x=1/e tornano entrambe 0. Prova a controllare i segni.
La prima parte del punto 3 non viene perché hai sbagliato la derivata della funzione $f(x)$, infatti hai dimenticato di moltiplicare per la derivata di $1/x$
$f'(x)=ln(1/x )+x*1/(1/x)*(-1/x^2)= ln (1/x) -1$
Per la seconda parte mi pare utile uguagliare le due derivate $2*f'(x)*f(x)+2*f'(x)=f'(x)$, con due calcoli si ottiene
$f'(x)*[2*f(x)+1]=0$ prova a vedere se riesci a completare.
$f'(x)=ln(1/x )+x*1/(1/x)*(-1/x^2)= ln (1/x) -1$
Per la seconda parte mi pare utile uguagliare le due derivate $2*f'(x)*f(x)+2*f'(x)=f'(x)$, con due calcoli si ottiene
$f'(x)*[2*f(x)+1]=0$ prova a vedere se riesci a completare.
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