Problema di calcolo di massimo e minimo
Salve a tutti, esercitandomi sui problemi di massimo e minimo sono arrivato a questo esercizio di cui non riesco a trovare la soluzione corretta.
"Tra le piramidi rette a base quadrata di superficie totale "S", trovare quella di massimo volume."
Sapendo che V=1/3 (superficie di base) (altezza), e che la superficie del triangolo è "s" e quella di base è "Sb" ho ragionato in questo modo:
Per ipotesi so che $ S= 4s+Sb $ ; se io pongo x uguale allo spigolo di base, so che $ Sb=x^2 $ e che l'area di un triangolo a lato è $ (xh)/2 $ .
Sostituendo le relazioni trovate nella formula della superficie totale trovo che $ S=4(xh)/2 + x^2 $ e quindi $ h= (S-x^2)/2 $ ; inoltre, sapendo che 2hx deve essere maggiore di zero (perché è il prodotto fra due distanze) allora so che $ S-x^2>=0 $ e quindi le limitazioni della x sono $ 0<=x<=sqrtS $
Sostituendo Sb e h nella formule del volume della piramide $ V=1/6(Sx-x^3) $ ne calcolo la derivata, che è $ f'(x)=1/6(S-3x^2) $
Quindi la soluzione della derivata è $ x=sqrt(S/3) $ ; sostituendo gli estremi della soluzione nella formula della V noto che il volume è uguale a zero in entrambi i casi, per cui la soluzione risulta proprio $ x=sqrt(S/3) $
Il libro di testo però dice che la soluzione è $ x=sqrtS/2 $ e non capisco da dove arrivi fuori! Forse dalla limitazione, che in un modo o nell'altro utilizza il 2 moltiplicato a xh in qualche modo?
"Tra le piramidi rette a base quadrata di superficie totale "S", trovare quella di massimo volume."
Sapendo che V=1/3 (superficie di base) (altezza), e che la superficie del triangolo è "s" e quella di base è "Sb" ho ragionato in questo modo:
Per ipotesi so che $ S= 4s+Sb $ ; se io pongo x uguale allo spigolo di base, so che $ Sb=x^2 $ e che l'area di un triangolo a lato è $ (xh)/2 $ .
Sostituendo le relazioni trovate nella formula della superficie totale trovo che $ S=4(xh)/2 + x^2 $ e quindi $ h= (S-x^2)/2 $ ; inoltre, sapendo che 2hx deve essere maggiore di zero (perché è il prodotto fra due distanze) allora so che $ S-x^2>=0 $ e quindi le limitazioni della x sono $ 0<=x<=sqrtS $
Sostituendo Sb e h nella formule del volume della piramide $ V=1/6(Sx-x^3) $ ne calcolo la derivata, che è $ f'(x)=1/6(S-3x^2) $
Quindi la soluzione della derivata è $ x=sqrt(S/3) $ ; sostituendo gli estremi della soluzione nella formula della V noto che il volume è uguale a zero in entrambi i casi, per cui la soluzione risulta proprio $ x=sqrt(S/3) $
Il libro di testo però dice che la soluzione è $ x=sqrtS/2 $ e non capisco da dove arrivi fuori! Forse dalla limitazione, che in un modo o nell'altro utilizza il 2 moltiplicato a xh in qualche modo?
Risposte
Attenzione, l'altezza usata per calcolare l'area dei triangoli laterali non è l'altezza della piramide... 
E' vero, non ci avevo pensato. Ho ricalcolato l'altezza del triangolo usando il teorema di Pitagora con meta spigolo di base e l'altezza della piramide, sostituendo e svolgendo i calcoli mi viene, grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo