Problema di calcolo delle probabilità
Salve a tutti
sto provando a risolvere questo problema:
la probabilità che un prodotto $A$ ha di essere acquistato è del $40%$, mentre la probabilità che un prodotto similie $B$ ha di essere acquistato è del $25%$ e la probabilità che ha di essere acquistato quando $A$ non è acquistato è del $10%$. Calcolare la probabilità che venga acquistato uno tra i prodotti $A$ e $B$.
Soluzione parziale:
$P(A)=0.40$
$P(B)=0.25$
probabilità che venga acquistato $B$ quando non è acquistato $A$:
$P(B|(1-A)=0.1$
Consultando il testo ho trovato questa relazione :
$P(B \cup (1-A))=P(1-A) \cdot P(B|(1-A)=0.6 \cdot 0.1=0.06$
a questo punto mi sembra di essere finito in un vicolo cieco.
Gradirei qualche indicazione o consiglio.
Grazie e saluti
Giovanni C.
sto provando a risolvere questo problema:
la probabilità che un prodotto $A$ ha di essere acquistato è del $40%$, mentre la probabilità che un prodotto similie $B$ ha di essere acquistato è del $25%$ e la probabilità che ha di essere acquistato quando $A$ non è acquistato è del $10%$. Calcolare la probabilità che venga acquistato uno tra i prodotti $A$ e $B$.
Soluzione parziale:
$P(A)=0.40$
$P(B)=0.25$
probabilità che venga acquistato $B$ quando non è acquistato $A$:
$P(B|(1-A)=0.1$
Consultando il testo ho trovato questa relazione :
$P(B \cup (1-A))=P(1-A) \cdot P(B|(1-A)=0.6 \cdot 0.1=0.06$
a questo punto mi sembra di essere finito in un vicolo cieco.
Gradirei qualche indicazione o consiglio.
Grazie e saluti
Giovanni C.
Risposte
"gcappellotto":
Consultando il testo ho trovato questa relazione :
$P(B \cup (1-A))=P(1-A) \cdot P(B|(1-A)=0.6 \cdot 0.1=0.06$
Sei sicuro? A me risulta che dovrebbe essere $P(B\cap(\Omega-A))=P(\Omega-A) \cdot P(B|(\Omega-A))$ ($\Omega$ è l'insieme universo, la cui probabilità è $1$).
E poi un chiarimento: con la richiesta "calcolare la probabilità che venga acquistato uno tra i prodotti A e B" si intende almeno uno tra i prodotti A e B oppure uno e solo uno tra i prodotti A e B?
"qasw":
[quote="gcappellotto"]Consultando il testo ho trovato questa relazione :
$P(B \cup (1-A))=P(1-A) \cdot P(B|(1-A)=0.6 \cdot 0.1=0.06$
Sei sicuro? A me risulta che dovrebbe essere $P(B\cap(\Omega-A))=P(\Omega-A) \cdot P(B|(\Omega-A))$ ($\Omega$ è l'insieme universo, la cui probabilità è $1$).
E poi un chiarimento: con la richiesta "calcolare la probabilità che venga acquistato uno tra i prodotti A e B" si intende almeno uno tra i prodotti A e B oppure uno e solo uno tra i prodotti A e B?[/quote]
Per la prima osservazione hai ragione, ho sbagliato a scrivere.
Per la seconda, il testo l'ho copiato dal libro ma suppongo che si intenda uno e solo uno.
Io procederei così:
Dal testo conosciamo $P(A)$, $P(B)$ e $P(B|(\Omega-A))$; inoltre tu hai già calcolato $P(B\cap(\Omega-A))$.
Il nostro scopo è calcolare $P(A\cupB)-P(A\capB)$, cioè la probabilità che venga acquistato almeno uno meno la probabilità che vengano acquistati entrambi.
Se disegni il diagramma di Eulero-Venn, ti accorgi facilmente che $B\cap(\Omega-A)=B-A\capB$, ovvero che intersecando B con l'opposto di A otteniamo l'insieme degli elementi che appartengono a B ma non ad A.
Quindi $P(B\cap(\Omega-A))=P(B-A\capB)=P(B)-P(A\capB)$ (ho potuto fare l'ultimo passaggio solo perché $A\capB\subsetB$), perciò $P(B\cap(\Omega-A))=P(B)-P(A\capB)$, dalla quale ricaviamo l'intersezione di A e B:
$P(A\capB)=P(B)-P(B\cap(\Omega-A))$ (1)
Per la relazione di Boole: $P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)$ (2)
Ora, utilizzando la (1) e la (2), finiamo l'esercizio:
$P(A\cupB)-P(A\capB)=$
$=P(A)+P(B)-2P(A\capB)=$
$=P(A)+P(B)-2P(B)+2P(B\cap(\Omega-A))=$
$=P(A)-P(B)+2P(B\cap(\Omega-A))$
Dal testo conosciamo $P(A)$, $P(B)$ e $P(B|(\Omega-A))$; inoltre tu hai già calcolato $P(B\cap(\Omega-A))$.
Il nostro scopo è calcolare $P(A\cupB)-P(A\capB)$, cioè la probabilità che venga acquistato almeno uno meno la probabilità che vengano acquistati entrambi.
Se disegni il diagramma di Eulero-Venn, ti accorgi facilmente che $B\cap(\Omega-A)=B-A\capB$, ovvero che intersecando B con l'opposto di A otteniamo l'insieme degli elementi che appartengono a B ma non ad A.
Quindi $P(B\cap(\Omega-A))=P(B-A\capB)=P(B)-P(A\capB)$ (ho potuto fare l'ultimo passaggio solo perché $A\capB\subsetB$), perciò $P(B\cap(\Omega-A))=P(B)-P(A\capB)$, dalla quale ricaviamo l'intersezione di A e B:
$P(A\capB)=P(B)-P(B\cap(\Omega-A))$ (1)
Per la relazione di Boole: $P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)$ (2)
Ora, utilizzando la (1) e la (2), finiamo l'esercizio:
$P(A\cupB)-P(A\capB)=$
$=P(A)+P(B)-2P(A\capB)=$
$=P(A)+P(B)-2P(B)+2P(B\cap(\Omega-A))=$
$=P(A)-P(B)+2P(B\cap(\Omega-A))$
"qasw":
Io procederei così:
Dal testo conosciamo $P(A)$, $P(B)$ e $P(B|(\Omega-A))$; inoltre tu hai già calcolato $P(B\cap(\Omega-A))$.
Il nostro scopo è calcolare $P(A\cupB)-P(A\capB)$, cioè la probabilità che venga acquistato almeno uno meno la probabilità che vengano acquistati entrambi.
Se disegni il diagramma di Eulero-Venn, ti accorgi facilmente che $B\cap(\Omega-A)=B-A\capB$, ovvero che intersecando B con l'opposto di A otteniamo l'insieme degli elementi che appartengono a B ma non ad A.
Quindi $P(B\cap(\Omega-A))=P(B-A\capB)=P(B)-P(A\capB)$ (ho potuto fare l'ultimo passaggio solo perché $A\capB\subsetB$), perciò $P(B\cap(\Omega-A))=P(B)-P(A\capB)$, dalla quale ricaviamo l'intersezione di A e B:
$P(A\capB)=P(B)-P(B\cap(\Omega-A))$ (1)
Per la relazione di Boole: $P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)$ (2)
Ora, utilizzando la (1) e la (2), finiamo l'esercizio:
$P(A\cupB)-P(A\capB)=$
$=P(A)+P(B)-2P(A\capB)=$
$=P(A)+P(B)-2P(B)+2P(B\cap(\Omega-A))=$
$=P(A)-P(B)+2P(B\cap(\Omega-A))$
Molte grazie.
Giovanni
Figurati. Ma i conti tornano?
"qasw":
Figurati. Ma i conti tornano?
E' tutto corretto.
Propongo una mia soluzione.
Se A ha probabilità 0,4 di essere acquistato, vuol dire che ha probabilità 0,6 di non essere acquistato.
Se B ha probabilità 0,1 di essere acquistato quando A non è acquistato, allora $0,6*0,1=0,06$ è la probabilità che B venga acquistato da solo.
Se 0,25 è la probabilità di B di essere acquistato, allora $0,25-0,06=0,19$ è la probabilità che A e B vengano acquistati insieme.
Se 0,40 è la probabilità di A di essere acquistato, allora $0,40-0,19=0,21$ è la probabilità che A venga acquistato da solo.
Infine $1-0,06-0,19-0,21=0,54$ è la probabilità che non venga acquistato nessuno dei due prodotti.
Se A ha probabilità 0,4 di essere acquistato, vuol dire che ha probabilità 0,6 di non essere acquistato.
Se B ha probabilità 0,1 di essere acquistato quando A non è acquistato, allora $0,6*0,1=0,06$ è la probabilità che B venga acquistato da solo.
Se 0,25 è la probabilità di B di essere acquistato, allora $0,25-0,06=0,19$ è la probabilità che A e B vengano acquistati insieme.
Se 0,40 è la probabilità di A di essere acquistato, allora $0,40-0,19=0,21$ è la probabilità che A venga acquistato da solo.
Infine $1-0,06-0,19-0,21=0,54$ è la probabilità che non venga acquistato nessuno dei due prodotti.
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