Problema di calcolo delle probabilità
Salve a tutti
ho il seguente problema che mi mette in difficoltà:
Un'urna contiene $6$ palline gialle, $4$ bianche e $6$ verdi. Calcolare la probabilità che, estraendo due palline, esse siano di colore diverso, sapendo che almeno una è verde.
Tentativo di soluzione.
totale palline $16$.
Probabilità di estrarre le varie palline:
gialla = $6/16$
bianca= $4/16$
verde= $6/16$
a questo punto immagino che si potrebbe applicare il teorema di Bayes ?
Oppure la probabilità condizionata?
Gradirei dei consigli, se possibile.
Grazie e saluti
Giovanni C.
ho il seguente problema che mi mette in difficoltà:
Un'urna contiene $6$ palline gialle, $4$ bianche e $6$ verdi. Calcolare la probabilità che, estraendo due palline, esse siano di colore diverso, sapendo che almeno una è verde.
Tentativo di soluzione.
totale palline $16$.
Probabilità di estrarre le varie palline:
gialla = $6/16$
bianca= $4/16$
verde= $6/16$
a questo punto immagino che si potrebbe applicare il teorema di Bayes ?
Oppure la probabilità condizionata?
Gradirei dei consigli, se possibile.
Grazie e saluti
Giovanni C.
Risposte
Ciao, io direi probabilità condizionata.
Definiamo gli eventi
$A$ = "Due palline di colore diverso"
$V$ = "Almeno una è verde"
La formula che ci interessa è $$
P\left(A|V\right) = \frac{P\left(A\cap V\right)}{P\left(V\right)}.
$$ Iniziamo trovando $P(V)$, cioè la probabilità che almeno una pallina sia verde. In questo caso torna facile calcolare la probabilità dell'evento complementare "Nessuna pallina è verde" e poi toglierla dall'unità. Otteniamo $$
P(V) = 1- \frac{10}{16}\cdot \frac{9}{15} = \frac{5}{8}.
$$ Fin qui tutto chiaro? Riesci a proseguire?
Definiamo gli eventi
$A$ = "Due palline di colore diverso"
$V$ = "Almeno una è verde"
La formula che ci interessa è $$
P\left(A|V\right) = \frac{P\left(A\cap V\right)}{P\left(V\right)}.
$$ Iniziamo trovando $P(V)$, cioè la probabilità che almeno una pallina sia verde. In questo caso torna facile calcolare la probabilità dell'evento complementare "Nessuna pallina è verde" e poi toglierla dall'unità. Otteniamo $$
P(V) = 1- \frac{10}{16}\cdot \frac{9}{15} = \frac{5}{8}.
$$ Fin qui tutto chiaro? Riesci a proseguire?
"minomic":
Ciao, io direi probabilità condizionata.
Definiamo gli eventi
$A$ = "Due palline di colore diverso"
$V$ = "Almeno una è verde"
La formula che ci interessa è $$
P\left(A|V\right) = \frac{P\left(A\cap V\right)}{P\left(V\right)}.
$$ Iniziamo trovando $P(V)$, cioè la probabilità che almeno una pallina sia verde. In questo caso torna facile calcolare la probabilità dell'evento complementare "Nessuna pallina è verde" e poi toglierla dall'unità. Otteniamo $$
P(V) = 1- \frac{10}{16}\cdot \frac{9}{16} = \frac{83}{128}.
$$ Fin qui tutto chiaro? Riesci a proseguire?
Questo mi è chiaro, quello che mi mette in difficoltà è individuare gli elementi comuni fra $A$ e $V$.
Ho tentato di costruire una tabella con i vari casi possibili dell'evento $A$ e dell'evento $B$ ma ho fatto una gran confusione.
Comunque ti ringrazio per l'aiuto.
Attenzione, avevo sbagliato una cosa (denominatore della seconda frazione) e ho editato il mio messaggio precedente! 
Allora, adesso dobbiamo trovare $P(A nn V)$. Probabilmente il metodo più intuitivo è definire i nuovi eventi
$G$ "Esce una pallina gialla"
$B$ "Esce una pallina bianca"
Quindi, se non sbaglio, possiamo dire $$
P(A\cap V) = P(VG) + P(GV) + P(VB) + P(BV)
$$ tenendo ovviamente presente che $$P(VG) = P(GV) \qquad P(VB) = P(BV)$$ In particolare $$
P(VG) = P(GV) = \frac{6}{16} \cdot \frac{6}{15} = \frac{3}{20}
$$ $$
P(VB) = P(BV) = \frac{6}{16} \cdot \frac{4}{15} = \frac{1}{10}
$$ Se non ho fatto errori di calcolo/ragionamento dovremmo ottenere $$
P(A\cap V) = \frac{3}{10} + \frac{1}{5} = \frac{1}{2}
$$ e quindi $$
P(A|V) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{5} = \frac{4}{5}.
$$
$G$ "Esce una pallina gialla"
$B$ "Esce una pallina bianca"
Quindi, se non sbaglio, possiamo dire $$
P(A\cap V) = P(VG) + P(GV) + P(VB) + P(BV)
$$ tenendo ovviamente presente che $$P(VG) = P(GV) \qquad P(VB) = P(BV)$$ In particolare $$
P(VG) = P(GV) = \frac{6}{16} \cdot \frac{6}{15} = \frac{3}{20}
$$ $$
P(VB) = P(BV) = \frac{6}{16} \cdot \frac{4}{15} = \frac{1}{10}
$$ Se non ho fatto errori di calcolo/ragionamento dovremmo ottenere $$
P(A\cap V) = \frac{3}{10} + \frac{1}{5} = \frac{1}{2}
$$ e quindi $$
P(A|V) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{5} = \frac{4}{5}.
$$
Aggiungo anche un metodo molto più rapido ma forse meno intuitivo: dobbiamo calcolare la probabilità che la prima sia verde e l'altra no o viceversa (che significa moltiplicare per $2$). Quindi $$
P(A\cap V) = \frac{6}{16}\cdot \frac{10}{15} \cdot 2 = \frac{1}{2}
$$ Ora applichiamo la solita formula della probabilità condizionata e ritroviamo $P(A|V) = 4/5$.
P(A\cap V) = \frac{6}{16}\cdot \frac{10}{15} \cdot 2 = \frac{1}{2}
$$ Ora applichiamo la solita formula della probabilità condizionata e ritroviamo $P(A|V) = 4/5$.
"minomic":
Aggiungo anche un metodo molto più rapido ma forse meno intuitivo: dobbiamo calcolare la probabilità che la prima sia verde e l'altra no o viceversa (che significa moltiplicare per $2$). Quindi $$
P(A\cap V) = \frac{6}{16}\cdot \frac{10}{15} \cdot 2 = \frac{1}{2}
$$ Ora applichiamo la solita formula della probabilità condizionata e ritroviamo $P(A|V) = 4/5$.
Tutto perfetto, grazie.
Giovanni
Prego! 
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