Problema di analitica.Riesco a risolvere tutto ma...
Nel piano xOy determinare il parametro $m in R$ in modo che l'equazione $y=(mx+3)/(2x+m+1)$ rappresenti un'iperbole equilatera traslata. Determinare inoltre:
a. il luogo gamma dei centri del fascio di iperboli.RISOLTO.
b.l'iperbole C del fascio avente per asintoto verticale la retta $x=-1$.RISOLTO.
c.per quali valori di k la retta $y=kx$ incontra C.RISOLTO.
d.il luogo E dei punti P del piano per i quali risulta $bar(PF)=(1/2)*bar(PH)$,
essendo F il punto $(1;-1)$ e $bar(PH)$ la distanza di P dall'asintoto orizzontale di C ,e disegnare la curva E dopo aver eseguito una traslazione di assi che porti O in $O_1(1;-3/2)$;RISOLTO
e.sull'arco di E contenuto nel 2°quadrante un punto R in modo che si abbia
$bar(RN)+2bar(RM)=l-1$ ,$l in R$,
essendo $bar(RN)$ ed $bar(RM)$ le distanze di R rispettivamente dagli assi X e Y del sistema cartesiano $XO_1Y$RISOLTO IN PARTE
SVOLGIMENTO:
Riesco a risolvere tutti i punti del problema solo che al punto e ho una piccola difficoltà:
per le soluzioni del libro l deve appartenere ai seguenti intervalli,
$l in [2;1+sqrt(3)]$, che ottengo senza problemi,
$l in [1+sqrt(3);3]$,non riesco a ottenere il valore 3...Adesso vi do i dati sufficienti per risolvere l'ultimo quesito:
le condizioni imposte mi danno l'equazione
$|Y+3/2|+2|X-1|=l-1$
$4X^2+3Y^2=3$
$X=x-1$,
$Y=y+3/2$
adesso per trovare il valore che mi manca ,$l=3$, devo imporre che il delta della retta ottenuta ,tangente con E nel secondo quadrante di $XO_1Y$, sia uguale a zero...solo che non capisco come scegliere il segno dei moduli!!! Ho provato tutte le combinazioni possibili...Ma non viene.
Vi do poi i vertici di E sul sistema traslato $XO_1Y$:
$(1;-1/2)$,
$(1;-5/2)$,
$((sqrt(3))/2+1;-3/2)$,
$(1-(sqrt(3))/2;-3/2)$.
a. il luogo gamma dei centri del fascio di iperboli.RISOLTO.
b.l'iperbole C del fascio avente per asintoto verticale la retta $x=-1$.RISOLTO.
c.per quali valori di k la retta $y=kx$ incontra C.RISOLTO.
d.il luogo E dei punti P del piano per i quali risulta $bar(PF)=(1/2)*bar(PH)$,
essendo F il punto $(1;-1)$ e $bar(PH)$ la distanza di P dall'asintoto orizzontale di C ,e disegnare la curva E dopo aver eseguito una traslazione di assi che porti O in $O_1(1;-3/2)$;RISOLTO
e.sull'arco di E contenuto nel 2°quadrante un punto R in modo che si abbia
$bar(RN)+2bar(RM)=l-1$ ,$l in R$,
essendo $bar(RN)$ ed $bar(RM)$ le distanze di R rispettivamente dagli assi X e Y del sistema cartesiano $XO_1Y$RISOLTO IN PARTE
SVOLGIMENTO:
Riesco a risolvere tutti i punti del problema solo che al punto e ho una piccola difficoltà:
per le soluzioni del libro l deve appartenere ai seguenti intervalli,
$l in [2;1+sqrt(3)]$, che ottengo senza problemi,
$l in [1+sqrt(3);3]$,non riesco a ottenere il valore 3...Adesso vi do i dati sufficienti per risolvere l'ultimo quesito:
le condizioni imposte mi danno l'equazione
$|Y+3/2|+2|X-1|=l-1$
$4X^2+3Y^2=3$
$X=x-1$,
$Y=y+3/2$
adesso per trovare il valore che mi manca ,$l=3$, devo imporre che il delta della retta ottenuta ,tangente con E nel secondo quadrante di $XO_1Y$, sia uguale a zero...solo che non capisco come scegliere il segno dei moduli!!! Ho provato tutte le combinazioni possibili...Ma non viene.
Vi do poi i vertici di E sul sistema traslato $XO_1Y$:
$(1;-1/2)$,
$(1;-5/2)$,
$((sqrt(3))/2+1;-3/2)$,
$(1-(sqrt(3))/2;-3/2)$.
Risposte
Riferiamo tutto al sistema traslato $XO_1Y$ ed usiamo solo questo per tutti i calcoli: E ha equazione $4X^2+3Y^2=3$ e quindi i suoi vertici sono $(+-sqrt3/2,0)$ e $(0,+-1)$; quelli che delimitano il secondo quadrante sono $A(-sqrt3/2,0)$ e $B(0,1)$.
Posto poi $R(X,Y)$, si ha $RM=-X^^RN=Y$ e quindi la condizione diventa
$Y-2X=l-1$
Si tratta quindi di un fascio di rette parallele; quella passante per A ha $l=1+sqrt3$ e quella per B ha $l=2$. Nel fascio ci sono due rette tangenti all'ellisse (giustamente dici che le trovi con $Delta=0$), corrispondenti a $l=-1$ e $l=3$ ma la prima non ci interessa perché il punto di tangenza è nel quarto quadrante. Ora ti manca poco per completare.
Posto poi $R(X,Y)$, si ha $RM=-X^^RN=Y$ e quindi la condizione diventa
$Y-2X=l-1$
Si tratta quindi di un fascio di rette parallele; quella passante per A ha $l=1+sqrt3$ e quella per B ha $l=2$. Nel fascio ci sono due rette tangenti all'ellisse (giustamente dici che le trovi con $Delta=0$), corrispondenti a $l=-1$ e $l=3$ ma la prima non ci interessa perché il punto di tangenza è nel quarto quadrante. Ora ti manca poco per completare.
mannaggia Giammaria hai ragione: $4X^2+3Y^2=3$ è un ellisse...e poi il ragionamento fila.Grazie!!!
Prego; mi fa piacere sapere che hai risolto il problema.
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