Problema di analitica con discussione
buongiorno a tutti.
stiamo facendo i problemi di geometria analitica con discussione e ho qualche problema. finchè facevo quelli di geometria classica mi venivano.
allora ecco il testo
Inscrivere nella parte di piano limitata dalle parabole di equazione
y = -x^2-2x e y = 1/2x^2+x
un rettangolo di perimetro 2k con i lati paralleli agli assi di riferimento.
(Detta y=q la retta che incontra la prima parabola si ha
non riesco a capire il suggerimento e procedere.
finora ho solo trovato le intersezioni tra le due parabole.
grazie in anticipo
Aggiunto 5 ore 47 minuti più tardi:
grazie mille...
piu' o meno ho capito il procedimento
ma poi mi ritrovo con simboli strani e non riesco a procedere..potresti per piacere spiegarmi come arrivare all'equazione? a me se ne vanno tutti i termini, faccio troppa confusione con y1B y2A ecc..scusami.
grazie, molto gentile
Aggiunto 1 giorni più tardi:
ciao! innanzitutto grazie mille...sto seguendo il tuo ragionamento.
ho seguito il tuo passaggio fino ad arrivare all'equazione
i calcoli fino a qua rifacendoli vengono anche a me così.
ho un dubbio, il libro porta come soluzione
1 soluz per 3/2
stiamo facendo i problemi di geometria analitica con discussione e ho qualche problema. finchè facevo quelli di geometria classica mi venivano.
allora ecco il testo
Inscrivere nella parte di piano limitata dalle parabole di equazione
y = -x^2-2x e y = 1/2x^2+x
un rettangolo di perimetro 2k con i lati paralleli agli assi di riferimento.
(Detta y=q la retta che incontra la prima parabola si ha
[math]4\sqrt{1-q}= 2k-3q[/math]
non riesco a capire il suggerimento e procedere.
finora ho solo trovato le intersezioni tra le due parabole.
grazie in anticipo
Aggiunto 5 ore 47 minuti più tardi:
grazie mille...
piu' o meno ho capito il procedimento
ma poi mi ritrovo con simboli strani e non riesco a procedere..potresti per piacere spiegarmi come arrivare all'equazione? a me se ne vanno tutti i termini, faccio troppa confusione con y1B y2A ecc..scusami.
grazie, molto gentile
Aggiunto 1 giorni più tardi:
ciao! innanzitutto grazie mille...sto seguendo il tuo ragionamento.
ho seguito il tuo passaggio fino ad arrivare all'equazione
[math]4\sqrt{1-q}= 2k-3q[/math]
i calcoli fino a qua rifacendoli vengono anche a me così.
ho un dubbio, il libro porta come soluzione
1 soluz per 3/2
Risposte
Dunque il consiglio scritto così è un po' difficile da interpretare.
Loro ti suggeriscono ti intersecare le due parabole con un fascio improprio di rette (y=q). Chiaramente ogni retta interseca la parabola in due punti (Quando passa per il vertice il rettangolo è degenere).
Allora il suggerimento ti dice di considerare questi due punti generici che chiameremo
Trovi le distanze fra i punti e imponi che l'area del rettangolo sia 2k.
Allora adesso non so quanto chiaro sono stato. se hai dubbi chiedi.
Loro ti suggeriscono ti intersecare le due parabole con un fascio improprio di rette (y=q). Chiaramente ogni retta interseca la parabola in due punti (Quando passa per il vertice il rettangolo è degenere).
Allora il suggerimento ti dice di considerare questi due punti generici che chiameremo
[math](\bar{x_1}_A,\bar{y_1}_A)[/math]
e [math](\bar{x_2}_A,\bar{y_2}_A)[/math]
. La lettera in pedice (A) sta per distinguere l'intersezione con una piuttosto che con l'altra parabola. Quindi un'altra retta appartenente al fascio intersecherà le parabole nei punti [math](\bar{x_1}_B,\bar{y_1}_B)[/math]
e [math](\bar{x_2}_B,\bar{y_2}_B)[/math]
. Adesso siccome stiamo trattando un rettangolo se due lati sono orizzontali (appartengono alla stessa retta) gli altri due saranno verticali paralleli all'asse y. Questo significa che le ascisse (valori in x) dei punti devono combaciare rispettivamente ossia:[math]\bar{x_1}_A=\bar{x_1}_B[/math]
e [math]\bar{x_2}_A=\bar{x_2}_B[/math]
. Trovi le distanze fra i punti e imponi che l'area del rettangolo sia 2k.
Allora adesso non so quanto chiaro sono stato. se hai dubbi chiedi.
Per prima cosa devi metterti in condizioni di valutare l'inscrivibilita' del rettangolo all'interno del piano formato dalle parabole.
Le parabole hanno concavita' diversa, una verso l'alto e una verso il basso
Le parabole hanno entrambe vertice di ascissa x=-1 e pertanto x=-1 e' l'asse di simmetria di entrambe.
Questo implica che tagliando una parabola con una generica retta verticale, se dai punti di intersezione con le due parabole tracci le parallele all'asse x trovi due punti di intersezione con le due parabole speculari e di medesima ascissa.
Infatti se le due parabole avessero asse di simmetria diverso, non avresti possibilita' alcuna di costruire un rettangolo inscritto. (disegna due parabole con concavita' diversa, ma diverso asse di simmetria: noterai che e' impossibile tracciare un rettangolo inscritto).
Detto questo, saprai che:
Detto
il punto B della medesima parabola, avra' stessa ordinata;
i punti C e D dell'altra parabola avranno uguale ordinata tra loro e ascisse uguali alle precedenti
Ovvero
Tutto cio' detto, calcoliamo i casi limite:
nel caso A giaccia sul punto di intersezione tra le parabole (di coordinate (-2,0)), B giace sul punto (0,0), C coincide con B e D coincide con A.
il perimetro 2k sara' = alla distanza tra i due punti, pertanto 2k=2, k=1;
Nel caso A giaccia sul vertice, B coincide con A, mentre C e D saranno sul vertice dell'altra parabola e il perimetro sara' pari alla distanza tra i due vertici (e quindi 2k=3/2, k=3/4)
Poniamo q (come suggerito dal problema) l'ordinata di un punto qualnque appartenente alla parabola y=-x^2-2x.
Per le limitazioni del caso, q sara' al massimo l'ordinata del vertice, e potra' assumere come valore minimo 0.
Pertanto avremo
Detto questo, calcoliamo l'ascissa del punto generico della parabola y=-x^2-2x di ordinata q.
e pertanto, usando la ridotta:
Pertanto avremo che i punti di cui sopra, saranno:
Calcoliamo ora le coordinate generiche di C e di D, di cui conosci l'ascissa:
Per quanto detto sopra, siccome i due punti hanno stessa ordinata, sara' sufficiente calcolare l'ordinata di un punto solo.
Per verifica, ovviamente, puoi calcolare l'ordinata dell'altro punto, ad ulteriore verifica della correttezza dei calcoli.
E quindi
Trattandosi di un rettangolo, nulla vieta di lavorare su meta' perimetro.
La base del rettangolo sara' data dalla differenza tra le ascisse:
E l'altezza sara' la differenza tra le ordinate:
E pertanto la relazione del perimetro (=2k) ovvero sul semiperimetro (=k) sara'
E dunque
Aggiunto più tardi:
Prima di elevare al quadrato, a destra dell'uguale dovrai imporre che la quantita' sia positiva, pertanto:
E pertanto siccome
Elevi al quadrato
Risolvendo troverai che
e pertanto usando la ridotta
E dunque
Che ha significato per
Ma ricordato che k (anzi, 2k) e' il perimetro, quindi k sara' senz'altro maggiore di zero.
quindi, nelle limitazioni inizialmente imposte, il k potra' avere valori compresi tra 0 e 13/8
Aggiunto 3 minuti più tardi:
Credo che ci sia un errore di conto pero'.
Perche' il perimetro, che varia, non sara' mai zero, ma la mia risoluzione non lo esclude come valore!
Ricontrollalo. Io lo riguardo
Aggiunto 5 minuti più tardi:
Devi ancora imporre
e
E verificare i casi :)
Aggiunto 2 ore 1 minuti più tardi:
Allora provo a rispondere a tutto:
Per i casi limite hai ragione, ho dimenticato di moltiplicare per 2 e pertanto i casi limite sono per k=2 e k=3/2 (ovvero il doppio di quello che ti ho scritto io)
Per quanto riguarda la limitazioni di q, io ho considerato l'ordinata dei due punti che giacciono sulla parabola con concavita' verso il basso.
Pertanto q varia da 0 a 1 (compresi gli estremi) perche' i corrsipondenti sulla parabola "di sotto" gli ho ricavati di conseguenza (ovvero: ordinata dei punti A e B ==> ho ricavato le ascisse dei punti A e B ==> ho ricavato le ordinate dei punti C e D).
Se prendi q compresa tra i vertici devi considerare:
0
Le parabole hanno concavita' diversa, una verso l'alto e una verso il basso
Le parabole hanno entrambe vertice di ascissa x=-1 e pertanto x=-1 e' l'asse di simmetria di entrambe.
Questo implica che tagliando una parabola con una generica retta verticale, se dai punti di intersezione con le due parabole tracci le parallele all'asse x trovi due punti di intersezione con le due parabole speculari e di medesima ascissa.
Infatti se le due parabole avessero asse di simmetria diverso, non avresti possibilita' alcuna di costruire un rettangolo inscritto. (disegna due parabole con concavita' diversa, ma diverso asse di simmetria: noterai che e' impossibile tracciare un rettangolo inscritto).
Detto questo, saprai che:
Detto
[math] A (x_A,y_A) [/math]
un generico punto dell'arco di una parabola, saprai che:il punto B della medesima parabola, avra' stessa ordinata;
i punti C e D dell'altra parabola avranno uguale ordinata tra loro e ascisse uguali alle precedenti
Ovvero
[math] A(x_A,y_A) \\ B(x_B,y_A) \\ C(x_B,y_C) \\ D(x_A,y_C) [/math]
Tutto cio' detto, calcoliamo i casi limite:
nel caso A giaccia sul punto di intersezione tra le parabole (di coordinate (-2,0)), B giace sul punto (0,0), C coincide con B e D coincide con A.
il perimetro 2k sara' = alla distanza tra i due punti, pertanto 2k=2, k=1;
Nel caso A giaccia sul vertice, B coincide con A, mentre C e D saranno sul vertice dell'altra parabola e il perimetro sara' pari alla distanza tra i due vertici (e quindi 2k=3/2, k=3/4)
Poniamo q (come suggerito dal problema) l'ordinata di un punto qualnque appartenente alla parabola y=-x^2-2x.
Per le limitazioni del caso, q sara' al massimo l'ordinata del vertice, e potra' assumere come valore minimo 0.
Pertanto avremo
[math] 0 \le q \le 1 [/math]
Detto questo, calcoliamo l'ascissa del punto generico della parabola y=-x^2-2x di ordinata q.
[math] q=-x^2-2x \to x^2+2x+q=0 [/math]
e pertanto, usando la ridotta:
[math] x= -1 \pm \sqrt{1-q} [/math]
Pertanto avremo che i punti di cui sopra, saranno:
[math] A \( -1- \sqrt{1-q} , q \) \\ B \( -1+ \sqrt{1-q} \) [/math]
Calcoliamo ora le coordinate generiche di C e di D, di cui conosci l'ascissa:
Per quanto detto sopra, siccome i due punti hanno stessa ordinata, sara' sufficiente calcolare l'ordinata di un punto solo.
Per verifica, ovviamente, puoi calcolare l'ordinata dell'altro punto, ad ulteriore verifica della correttezza dei calcoli.
[math] y=\frac12 x^2 + x \to y= \frac12 \(-1+ \sqrt{1-q})^2+(-1+ \sqrt{1-q} ) [/math]
E quindi
[math] y= \frac12 \( 1-q+1-2 \sqrt{1-q} \)-1+ \sqrt{1-q} = - \frac{q}{2} [/math]
Trattandosi di un rettangolo, nulla vieta di lavorare su meta' perimetro.
La base del rettangolo sara' data dalla differenza tra le ascisse:
[math] b=-1+ \sqrt{1-q} + 1 + \sqrt{1-q}=2 \sqrt{1-q} [/math]
E l'altezza sara' la differenza tra le ordinate:
[math] h=q-- \frac{q}{2} = \frac32 q [/math]
E pertanto la relazione del perimetro (=2k) ovvero sul semiperimetro (=k) sara'
[math] 2 \sqrt{1-q} + \frac32 q = k \to 4 \sqrt{1-q} + 3q=2k [/math]
E dunque
Aggiunto più tardi:
Prima di elevare al quadrato, a destra dell'uguale dovrai imporre che la quantita' sia positiva, pertanto:
[math] 2k-3q \ge 0 \to k \ge \frac32 q [/math]
E pertanto siccome
[math] 0 \le q \le 1[/math]
avrai [math] k \ge 0 [/math]
Elevi al quadrato
[math] 16-16q=4k^2+9q^2-12kq [/math]
Risolvendo troverai che
[math] 9q^2-4q(3k-4)+4k^2-16=0 [/math]
e pertanto usando la ridotta
[math] q=\frac{2(3k-4) \pm \sqrt{(6k-8 )^2-9(4k^2-16)}}{9} [/math]
E dunque
[math] \Delta = 36k^2-96k+64-36k^2+144 = -96k+208 [/math]
Che ha significato per
[math] k \le \frac{13}{8} [/math]
Ma ricordato che k (anzi, 2k) e' il perimetro, quindi k sara' senz'altro maggiore di zero.
quindi, nelle limitazioni inizialmente imposte, il k potra' avere valori compresi tra 0 e 13/8
Aggiunto 3 minuti più tardi:
Credo che ci sia un errore di conto pero'.
Perche' il perimetro, che varia, non sara' mai zero, ma la mia risoluzione non lo esclude come valore!
Ricontrollalo. Io lo riguardo
Aggiunto 5 minuti più tardi:
Devi ancora imporre
[math] 0 \le \frac{6k-12 + \sqrt{208-96k}}{9} \le 1 [/math]
e
[math] 0 \le \frac{6k-12 - \sqrt{208-96k}}{9} \le 1 [/math]
E verificare i casi :)
Aggiunto 2 ore 1 minuti più tardi:
Allora provo a rispondere a tutto:
Per i casi limite hai ragione, ho dimenticato di moltiplicare per 2 e pertanto i casi limite sono per k=2 e k=3/2 (ovvero il doppio di quello che ti ho scritto io)
Per quanto riguarda la limitazioni di q, io ho considerato l'ordinata dei due punti che giacciono sulla parabola con concavita' verso il basso.
Pertanto q varia da 0 a 1 (compresi gli estremi) perche' i corrsipondenti sulla parabola "di sotto" gli ho ricavati di conseguenza (ovvero: ordinata dei punti A e B ==> ho ricavato le ascisse dei punti A e B ==> ho ricavato le ordinate dei punti C e D).
Se prendi q compresa tra i vertici devi considerare:
0
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