Problema di algebra applicato alla geometria piana

[valenta93]

ciao ragazzi. ho da fare questo problema e mi servirebbe una mano.

un trapezio isoscele è inscritto in una semicirconferenza. sapendo che l'altezza è 15 e divide il diametro in due parti proporzionali ai numeri 25 e 144 determina il perimetro e l'area del trapezio
[209/2 cm; 540cm^2]

potreste darmi per piacere una guida per farlo? grazie in anticipo e buona giornata ^^

[BIT5]

Tracciamo il trapezio chiamando la base AB(A in basso a sinistra B in basso a destra, C in alto a destra).
Sappiamo che il trapezio inscritto in una semicirconferenza è isoscele.

Tracciamo DH .
Sappiamo che DH=15
Se tracciamo la diagonale DB questa forma il triangolo DBA, inscritto alla semicirconferenza.
Sappiamo che tutti i triangoli inscritti alla circonferenza sono rettangoli.
Pertanto l'angolo ADB è retto.
Il traingolo ADB è simile al triangolo ADH perhcè hanno entrambi un angolo retto e l'angolo DAB in comune.
Il triangolo AHD ha:
AH=cateto minore
DH=cateto maggiore

Mentre il triangolo ADB ha DB cateto minore e AD cateto maggiore

Consideriamo ora il triangolo HDB.
Questo è simile al triangolo ADB, avendo un angolo retto e l'angolo HBD in comune.
Per la proprietà transitiva, dal momento che il triangolo ADH è simile al triangolo ADB e che il triangolo ADB è simile al triangolo DBH avremo che
il triangolo ADH è simile al triangolo DBH
Il triangolo ADH ha, come detto prima:
AH=cateto minore
DH=cateto maggiore

Il triangolo DBH ha
DH=cateto minore
HB=cateto maggiore

Quindi sappiamo che
AH : DH=DH:HB
(E si dice che DH è medio proporzionale tra AH e HB)

Poniamo AH=x
Per la proporzione del testo, sappiamo che
x:BH=25:144
BH=144x/25

Sostituiamo nella proporzione di prima (ovvero AH : DH=DH:HB)
x:15=15:144x/25

Troviamo che (x)(144x/25)=(15)(15)

Da cui x=75/12
BH=144(75/12)/25=36
pertanto la base maggiore sarà AH+BH=75/12+36
la base minore sarà BH-AH.

Per trovare il lato obliquo useremo pitagora (abbiamo AH, abbiamo HD...)

Prova a fare i calcoli e dimmi se riesce

[valenta93]

grazie mille!! forse ho sbagliato i calcoli ma non mi viene.
io avevo provato a svolgere con due incognite

AH=x
HB=y

con queste relazioni

144x=25y
225=xy (secondo teorema di euclide applicato al triangolo ADB)

infine mi viene
x=25/4
y=36

ho trovato AD con pitagora e mi viene 65
trovo area e perimetro ma non coincidono con le soluzioni del libro.

[BIT5]

Se ti può consolare, io l'ho fatto tre volte prima che mi venisse il risultato corretto.

Anche il tuo metodo va bene (anzi, forse è mooooolto più snello del mio) e i risulati coincidono con i miei, però a me AD viene 65/4 e non 65 e basta...

Ricordati solo che x è AH, e pertanto AB=x+y
Mentre la base minore è y-x, perchè y è già il "pezzo di base" senza AH dalla quale dobbiamo togliere ancora un AH...

[valenta93]

grazieee!! che scema che sono!! mi sono dimenticata di scrivere il denominatore! anche a me viene 65/4... xD
ok ora mi viene giusto!! grazie mille.. sei stato molto gentile....